Em um laboratório, o tempo de reação de 20 ratos a um estímulo químico foi medido. A média foi de 3,5 \mathrm{~s} e o desvio padrão, 0,4 \mathrm{~s}. Admita distribuição simétrica. Construa um intervalo de 95 \% para o tempo médio.

Passo 1

O enunciado pede: construir um intervalo de confiança de 95\% para o tempo médio de reação.\n
Dados fornecidos: \bar{x}=3,5 s (média amostral), s=0,4 s (desvio-padrão amostral), n=20 (tamanho da amostra). Foi dada a condição “admita distribuição simétrica”.\n
Pergunta explícita: determinar o intervalo de 95\% para a média verdadeira do tempo de reação.

Passo 2

Por que usar um intervalo baseado na distribuição t?\n
  • Quando queremos estimar a média de uma população e a variância populacional é desconhecida (aqui só temos s), o procedimento clássico é usar o intervalo baseado na distribuição t de Student. Nesse intervalo, substituímos o desvio-padrão populacional por s e usamos a quantil t apropriada que depende dos graus de liberdade n-1.\n
  • A distribuição t é parecida com a normal, mas tem caudas mais longas; quanto maior n, mais ela se aproxima da normal. O requisito estrito para validade exata do intervalo t é que a população seja normal. Porém, quando a distribuição é simétrica (como o enunciado pede que se admita), o intervalo t costuma ser uma boa aproximação mesmo para tamanhos moderados de amostra como n=20. Portanto vamos usar o intervalo t. (Se a amostra fosse muito grande, poderíamos usar a normal por CLT; aqui n é pequeno, então t é mais apropriado.)

Passo 3

Escrevendo a fórmula geral do intervalo de confiança para a média quando \sigma é desconhecida:
\bar{x}\pm t_{n-1,\,1-\alpha/2}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{x} é a média amostral ( \bar{x}=3,5 s);
  • s é o desvio-padrão amostral ( s=0,4 s);
  • n é o tamanho da amostra ( n=20);
  • \alpha é o nível de significância ( \alpha=0,05 para um intervalo de 95\%);
  • t_{n-1,\,1-\alpha/2} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade correspondente à probabilidade acumulada 1-\alpha/2 (aqui 1-\alpha/2=0,975).

Passo 4

Calcular o erro padrão da média (standard error):
\sqrt{n}=\sqrt{20}\approx 4,4721
\text{erro padrão }=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,4}{4,4721}\approx 0,08944\\ \text{s}.ã
Explicação curta: o erro padrão mede quanto a média amostral costuma variar de amostra para amostra; é o desvio-padrão amostral dividido por \sqrt{n}.

Passo 5

Obter o quantil t. Para n-1=19 graus de liberdade e nível de confiança 95\% (ou seja, quantil 1-\alpha/2=0,975):
t_{19,\,0,975}\approx 2,093.
Esse valor vem da tabela da distribuição t (ou de uma calculadora estatística).

Passo 6

Calcular a margem de erro multiplicando o quantil t pelo erro padrão:
\text{margem} = t_{19,\,0,975}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,093\cdot 0,08944\approx 0,187.
Interpretação: a média amostral 3,5 s pode variar aproximadamente \pm 0,187 s para compor o intervalo de 95\%.

Passo 7

Calcular os extremos do intervalo:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}\approx 3,5-0,187=3,313\\ \text{s},
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}\approx 3,5+0,187=3,687\\ \text{s}.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais (útil na prova), temos aproximadamente 3,31 s e 3,69 s.

Resposta

(3,313\\ \text{s},\\\ 3,687\\ \text{s})

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