Em um laboratório, o tempo de reação de 20 ratos a um estímulo químico foi medido. A média foi de
e o desvio padrão,
. Admita distribuição simétrica. Construa um intervalo de
para o tempo médio.
Passo 1
O enunciado pede: construir um intervalo de confiança de
para o tempo médio de reação.\n
Dados fornecidos: s (média amostral),
s (desvio-padrão amostral),
(tamanho da amostra). Foi dada a condição “admita distribuição simétrica”.\n
Pergunta explícita: determinar o intervalo de para a média verdadeira do tempo de reação.
Dados fornecidos:
Pergunta explícita: determinar o intervalo de
Passo 2
Por que usar um intervalo baseado na distribuição
?\n
- Quando queremos estimar a média de uma população e a variância populacional é desconhecida (aqui só temos
), o procedimento clássico é usar o intervalo baseado na distribuição de Student. Nesse intervalo, substituímos o desvio-padrão populacional por e usamos a quantil apropriada que depende dos graus de liberdade .\n - A distribuição
é parecida com a normal, mas tem caudas mais longas; quanto maior , mais ela se aproxima da normal. O requisito estrito para validade exata do intervalo é que a população seja normal. Porém, quando a distribuição é simétrica (como o enunciado pede que se admita), o intervalo costuma ser uma boa aproximação mesmo para tamanhos moderados de amostra como . Portanto vamos usar o intervalo . (Se a amostra fosse muito grande, poderíamos usar a normal por CLT; aqui é pequeno, então é mais apropriado.)
Passo 3
Escrevendo a fórmula geral do intervalo de confiança para a média quando
é desconhecida:
onde:
-
é a média amostral ( s); -
é o desvio-padrão amostral ( s); -
é o tamanho da amostra ( ); -
é o nível de significância ( para um intervalo de ); -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade correspondente à probabilidade acumulada (aqui ).
Passo 4
Calcular o erro padrão da média (standard error):
Explicação curta: o erro padrão mede quanto a média amostral costuma variar de amostra para amostra; é o desvio-padrão amostral dividido por
.
Passo 5
Obter o quantil
. Para
graus de liberdade e nível de confiança
(ou seja, quantil
):
Esse valor vem da tabela da distribuição
(ou de uma calculadora estatística).
Passo 6
Calcular a margem de erro multiplicando o quantil
pelo erro padrão:
Interpretação: a média amostral
s pode variar aproximadamente
s para compor o intervalo de
.
Passo 7
Calcular os extremos do intervalo:
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais (útil na prova), temos aproximadamente
s e
s.