Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
Isso é um limite de função de duas variáveis. Para saber se esse limite existe, vamos analisar o valor da expressão aproximando-se de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Aproximando pela reta
:
Nesse caso o numerador fica
Nesse caso o numerador fica
e o denominador fica
Logo, ao longo de
temos
ou seja,
Passo 3
Aproximando pela reta
:
Nesse caso o numerador fica
Nesse caso o numerador fica
e o denominador fica
Portanto ao longo de
o quociente é
e quando
isso tende a
, ou seja,
Passo 4
Vimos que ao longo de
o limite vale
, mas ao longo de
o valor diverge para
. Como obtivemos resultados diferentes dependendo da trajetória de aproximação, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe, pois assume valores distintos (0 e
) em caminhos diferentes.