Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique o porquê.
lim (x, y) (0,0) x^2+x y^2x^4+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
lim(x,y)to(0,0) x^2+x y^2x^4+y^2
Isso é um limite de função de duas variáveis. Para saber se esse limite existe, vamos analisar o valor da expressão aproximando-se de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Aproximando pela reta x=0:
Nesse caso o numerador fica
0^2+0cdot y^2=0
e o denominador fica
0^4+y^2=y^2
Logo, ao longo de x=0 temos
0y^2 = 0,
ou seja,
lim(x,y)to(0,0),,x=0x^2+x y^2x^4+y^2 = 0

Passo 3

Aproximando pela reta y=0:
Nesse caso o numerador fica
x^2+xcdot0^2=x^2
e o denominador fica
x^4+0^2=x^4
Portanto ao longo de y=0 o quociente é
x^2x^4 = 1x^2,
e quando xto0 isso tende a +infty, ou seja,
lim(x,y)to(0,0),,y=0x^2+x y^2x^4+y^2 = +infty

Passo 4

Vimos que ao longo de x=0 o limite vale 0, mas ao longo de y=0 o valor diverge para +infty. Como obtivemos resultados diferentes dependendo da trajetória de aproximação, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe, pois assume valores distintos (0 e +infty) em caminhos diferentes.

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