Encontre o volume do sólido no primeiro octante, definido pelos planos coordenados
Passo 1
Temos um sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelo plano
O conteúdo aqui é cálculo de volume de um sólido por integral tripla em coordenadas cartesianas, ou equivalentemente volume de um tetraedro.
Passo 2
Como estamos no primeiro octante, impomos
e além disso o plano dá
Isolando os limites, obtemos
pois quando y=0,z=0 vem x=2; para cada x fixo,
e finalmente
Passo 3
O volume do sólido é dado pela integral tripla
pois em cálculo de volumes usamos
.
Passo 4
Primeiro, integramos em
:
Passo 5
Em seguida, integramos em
:
Passo 6
Agora falta só integrar em
:
Fazendo
, vem
Passo 7
Como checagem rápida, note que o sólido é um tetraedro com vértices em
,
,
e
. O volume de um tetraedro com vértices na origem e nos pontos
,
e
é
confirmando o resultado.
Passo 8
Resposta
6