Encontre o volume do sólido no primeiro octante, definido pelos planos coordenados
3 x+2 y+z=6

Passo 1

Temos um sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelo plano
3x + 2y + z = 6
O conteúdo aqui é cálculo de volume de um sólido por integral tripla em coordenadas cartesianas, ou equivalentemente volume de um tetraedro.

Passo 2

Como estamos no primeiro octante, impomos
x >= 0, y >= 0, z >= 0,
e além disso o plano dá
z = 6 - 3x - 2y >= 0
Isolando os limites, obtemos
0 <= x <= 2,
pois quando y=0,z=0 vem x=2; para cada x fixo,
0 <= y <= 6-3x2,
e finalmente
0 <= z <= 6 - 3x - 2y

Passo 3

O volume do sólido é dado pela integral tripla
V = integralx=0^2 integraly=0^6-3x2 integralz=0^6-3x-2y dz,dy,dx,
pois em cálculo de volumes usamos dV = dz,dy,dx.

Passo 4

Primeiro, integramos em z:
integralz=0^6-3x-2y dz = 6 - 3x - 2y

Passo 5

Em seguida, integramos em y:
integraly=0^6-3x2 (6 - 3x - 2y),dy = l[(6 - 3x)y - y^2r]0^6-3x2 = (6-3x)^24

Passo 6

Agora falta só integrar em x:
V = integral0^2 (6 - 3x)^24 ,dx = 14 integral0^2 9(2 - x)^2 ,dx
Fazendo u = 2 - x, vem
V = 94 integralu=2^0 u^2 (-du) = 94 integral0^2 u^2 ,du = 94 cdot 83 = 6

Passo 7

Como checagem rápida, note que o sólido é um tetraedro com vértices em (0,0,0), (2,0,0), (0,3,0) e (0,0,6). O volume de um tetraedro com vértices na origem e nos pontos (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c) é
16abc = 16cdot 2 cdot 3 cdot 6 = 6,
confirmando o resultado.

Passo 8

Resposta

6

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