Sabendo que
5 z-2z(z-1)=2z-3-3 z-3 z^2-3 z^3-3 z^4-cdotspara 0<|z|<1, e que
5 z-2z(z-1)=3z-1+2-2(z-1)+2(z-1)^2-2(z-1)^3+cdotspara 0<|z-1|<1, calcule
integral|z|<32 5 z-2z(z-1) d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno da função f(z)= 5z-2z(z-1) ao redor do círculo |z|=3/2; o que equivale a aplicar o teorema dos resíduos, pois f(z) tem polos simples em z=0 e z=1 dentro desse círculo.

Passo 2

Sabendo que a integral de um termo an(z−z0)^n ao redor de um círculo centrado em z_0 só é não nula quando n=−1 (e vale 2πi vezes o coeficiente), vamos usar as expansões fornecidas para identificar os resíduos.

Passo 3

Na expansão para 0<|z|<1 temos f(z)=2/z−3−3z−3z^2−. O coeficiente de 1/z é 2, então Res(f,0)=2.
Na expansão para 0<|z−1|<1 temos f(z)=3/(z−1)+2−2(z−1)+2(z−1)^2−. O coeficiente de 1/(z−1) é 3, logo Res(f,1)=3.

Passo 4

Pelo teorema dos resíduos, a integral vale 2πi·[Res(f,0)+Res(f,1)] = 2πi·(2+3) = 10πi.

Resposta

10pi i

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