Sabendo que
para
, e que
para
, calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno da função f(z)=
ao redor do círculo |z|=3/2; o que equivale a aplicar o teorema dos resíduos, pois f(z) tem polos simples em z=0 e z=1 dentro desse círculo.
Passo 2
Sabendo que a integral de um termo
ao redor de um círculo centrado em z_0 só é não nula quando n=−1 (e vale 2πi vezes o coeficiente), vamos usar as expansões fornecidas para identificar os resíduos.
Passo 3
Na expansão para 0<|z|<1 temos
. O coeficiente de 1/z é 2, então Res(f,0)=2.
Na expansão para 0<|z−1|<1 temos . O coeficiente de 1/(z−1) é 3, logo Res(f,1)=3.
Na expansão para 0<|z−1|<1 temos
Passo 4
Pelo teorema dos resíduos, a integral vale 2πi·[Res(f,0)+Res(f,1)] = 2πi·(2+3) = 10πi.