com t in[0,2 pi].
(d) Extenda as definições para a massa e o centro de massa de um fio em tres dimensões.
Passo 1
A gente tem um fio fino no formato de uma curva plana γ com densidade linear δ(x,y). Precisamos usar integrais de linha para massa e momentos, e daí achar o centro de massa em 2D; depois faremos um caso concreto sobre uma parábola, um exemplo de integral de linha com densidade variável; em seguida um integral de linha de um campo escalar ao longo de uma hélice; por fim, ampliar as definições para uma curva em 3D.
Passo 2
Para (a), a massa do fio é
m=integralgamma de
e os momentos dados por
Mx=integralgamma y,de
o centro de massa em coordenadas é simplesmente
bar x=Mym, bar y=Mxm
Passo 3
Para (b), parametrizamos a parte da parábola y=4−x^2 de x=−2 até x=2 usando x(t)=t, y(t)=4−t^2, t∈[−2,2]. A densidade é proporcional à distância ao eixo y, ou seja δ(x,y)=k|x|=k|t|. O elemento de comprimento é