Se um fio fino tem a forma de uma curva plana gamma, e se sua densidade linear em (x, y) é de, então os momentos com respeito aos eixos x e y são definidos por
Mx=integralgamma y de
(a) Escreva uma expressão para as coordenadas (barx, bary) do centro de massa, em função da massa do fio e dos momentos Mx e My.
(b) Se um fio fino está situado em um plano coordenado tal que sua forma coincida com parte da parábola y=4-x^2 entre (-2,0) e (2,0). Encontre a massa e o centro de massa se a densidade linear no ponto (x, y) é diretamente proporcional à sua distância ao eixo- y.
© Calcule integralgamma(x y+z) d s sobre a hélice circular
l x(t)=a cos (t) y(t)=a sen(t) z(t)=b t
com t in[0,2 pi].
(d) Extenda as definições para a massa e o centro de massa de um fio em tres dimensões.

Passo 1

A gente tem um fio fino no formato de uma curva plana γ com densidade linear δ(x,y). Precisamos usar integrais de linha para massa e momentos, e daí achar o centro de massa em 2D; depois faremos um caso concreto sobre uma parábola, um exemplo de integral de linha com densidade variável; em seguida um integral de linha de um campo escalar ao longo de uma hélice; por fim, ampliar as definições para uma curva em 3D.

Passo 2

Para (a), a massa do fio é
m=integralgamma de
e os momentos dados por
Mx=integralgamma y,de
o centro de massa em coordenadas é simplesmente
bar x=Mym, bar y=Mxm

Passo 3

Para (b), parametrizamos a parte da parábola y=4−x^2 de x=−2 até x=2 usando x(t)=t, y(t)=4−t^2, t∈[−2,2]. A densidade é proporcional à distância ao eixo y, ou seja δ(x,y)=k|x|=k|t|. O elemento de comprimento é
ds=raiz1+(y'(t))^2,dt=raiz1+(-2t)^2,dt=raiz1+4t^2,dt

Passo 4

A massa fica
m=integral-2^2k|t|raiz1+4t^2,dt=2kintegral0^2traiz1+4t^2,dt =k6l(17raiz17-1r)

Passo 5

O momento M_y (para achar \bar x) é zero por simetria (função ímpar). Para M_x:
Mx=integral-2^2y,k|t|raiz1+4t^2,dt=2kintegral0^2t(4-t^2)raiz1+4t^2,dt =k60l(289raiz17-41r)
Daí
bar x=0, bar y=Mxm=289raiz17-4110(17raiz17-1)

Passo 6

Para ©, parametrize a hélice por x=a\cos t, y=a\sin t, z=bt, t∈[0,2π]. O integrando é f=x y+z e ds=\sqrt{a2+b2},dt. Logo
integralgamma(xy+z),ds=raiza^2+b^2integral0^2pil(a^2cos tsin t+btr)dt =raiza^2+b^2cdot bintegral0^2pit,dt =2bpi^2raiza^2+b^2

Passo 7

Em (d), para um fio no espaço em R^3 com curva γ e densidade δ(x,y,z), definimos a massa
m=integralgammade
ios momentos em relação aos planos coordenados:
Myz=integralgamma x,de
e o centro de massa
bar x=Myzm,bar y=Mxzm,bar z=Mxym

Resposta

(a) bar x=dfracMym,;bar y=dfracMxm
(b) m=dfrack6(17raiz17-1),; (bar x,bar y)=l(0,;dfrac289raiz17-4110(17raiz17-1)r)
© integralgamma(xy+z),ds=2bpi^2raiza^2+b^2
(d) Em R^3: m=integralgammade

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