Um fio com densidade linear constante tem a forma de uma hélice circular
. Encontre a massa e o centro de massa do fio.
Passo 1
Temos um fio com densidade linear constante
descrito pela hélice
,
. Vamos calcular a massa total e o centro de massa usando integrais de linha. Para isso, precisamos do elemento de arco
e das fórmulas
e
.
Passo 2
Primeiro, encontramos o elemento de arco
. Derivando as componentes:
,
,
. Logo,
Passo 3
Agora calculamos a massa total
do fio:
Passo 4
Para as coordenadas
e
, observamos que as integrais de
e
num período inteiro múltiplo de
dão zero. Assim:
Passo 5
Finalmente, calculamos
:
Resposta
Massa:
. Centro de massa:
.