Um fio com densidade linear constante tem a forma de uma hélice circular x(t)=a cos (t), y(t)=a sen(t), z(t)=b t, t in[0,3 pi]. Encontre a massa e o centro de massa do fio.

Passo 1

Temos um fio com densidade linear constante lambda descrito pela hélice x(t)=acos(t), y(t)=asin(t), z(t)=b,t, tin[0,3pi]. Vamos calcular a massa total e o centro de massa usando integrais de linha. Para isso, precisamos do elemento de arco ds e das fórmulas
m=integral0^3pilambda,ds e
rcm=dfrac1mintegral0^3pilambda,r(t),ds.

Passo 2

Primeiro, encontramos o elemento de arco ds. Derivando as componentes: x'(t)=-asin(t), y'(t)=acos(t), z'(t)=b. Logo,
ds=raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2+l(z'(t)r)^2,dt =raiza^2sin^2(t)+a^2cos^2(t)+b^2,dt =raiza^2+b^2,dt

Passo 3

Agora calculamos a massa total m do fio:
m=integral0^3pilambda,ds =lambdaraiza^2+b^2integral0^3pidt =3pi,lambdaraiza^2+b^2

Passo 4

Para as coordenadas xcm e ycm, observamos que as integrais de cos t e sin t num período inteiro múltiplo de 2pi dão zero. Assim:
xcm=1mintegral0^3pilambda,x(t),ds =lambdaraiza^2+b^2mintegral0^3piacos t,dt=0,
ycm=1mintegral0^3pilambda,y(t),ds =lambdaraiza^2+b^2mintegral0^3piasin t,dt=0

Passo 5

Finalmente, calculamos zcm:
zcm=1mintegral0^3pilambda,z(t),ds =lambdaraiza^2+b^2mintegral0^3pib,t,dt =lambdaraiza^2+b^2mcdotb,(3pi)^22 =3pi,b2

Resposta

Massa: m=3pi,lambdaraiza^2+b^2. Centro de massa: l(0,0,tfrac3pi b2r).

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