Sejam
uma base de
.
(b) Calcule as coordenadas de
na base F.
(b) Calcule as coordenadas de
Passo 1
Vamos resumir o que a questão nos pede. Temos um espaço vetorial tridimensional
com uma base chamada
. Outra base desse espaço é
. A matéria envolvida aqui são as coordenadas de um vetor em diferentes bases e como encontrá-las. Para resolver, vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de uma base diferente usando sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor que queremos expressar na base
. Esse vetor é
. Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
tais que:
Passo 3
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Comparando os coeficientes dos vetores
,
e
nos dois lados da equação, temos:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Passo 5
Resolvendo as equações:
-
Da primeira equação, já sabemos que
. -
Substituindo
na segunda equação:
- Da terceira equação:
Substituindo
na equação
:
Passo 6
Agora que encontramos os valores de
,
e
, podemos escrever as coordenadas do vetor
na base
:
Resposta
As coordenadas de
na base
são
.