Sejam E=(u, v, w) uma base de V^3 e F=(nu-u, u-w, u).
(b) Calcule as coordenadas de u+2 v+3 w na base F.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão nos pede. Temos um espaço vetorial tridimensional V^3 com uma base chamada E = (u, v, w). Outra base desse espaço é F = (nu - u, u - w, u). A matéria envolvida aqui são as coordenadas de um vetor em diferentes bases e como encontrá-las. Para resolver, vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de uma base diferente usando sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor que queremos expressar na base F. Esse vetor é u + 2v + 3w. Nosso objetivo é encontrar os coeficientes (a, b, c) tais que:
u + 2v + 3w = a(nu - u) + b(u - w) + cu

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
anu - au + bu - bw + cu
Agrupando os termos semelhantes:
(anu) + (-a + b + c)u - bw

Passo 4

Comparando os coeficientes dos vetores nu, u e w nos dois lados da equação, temos:
  1. Coeficiente de nu:
0 = a
  1. Coeficiente de u:
1 = -a + b + c
  1. Coeficiente de w:
3 = -b

Passo 5

Resolvendo as equações:
  1. Da primeira equação, já sabemos que a = 0.
  2. Substituindo a = 0 na segunda equação:
1 = 0 + b + c Rightarrow b + c = 1
  1. Da terceira equação:
3 = -b Rightarrow b = -3
Substituindo b = -3 na equação b + c = 1:
-3 + c = 1 Rightarrow c = 4

Passo 6

Agora que encontramos os valores de a, b e c, podemos escrever as coordenadas do vetor u + 2v + 3w na base F:
( a, b, c ) = (0, -3, 4)

Resposta

As coordenadas de u + 2v + 3w na base F são (0, -3, 4).

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