Sabendo que:
dd x(x^2 arctan x)=2 x arctan x-1x^2+1+1
Calcule: integral 2 x arctan x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 2x arctan x , dx. A matéria aqui envolve derivadas e integrais, especialmente usando a regra do produto e a integração por partes. Vamos precisar entender como relacionar a derivada dada com a integral que queremos encontrar.

Passo 2

Primeiro, olha só a derivada que foi fornecida:
ddx(x^2 arctan x) = 2x arctan x - 1x^2 + 1 + 1
Isso significa que se derivarmos x^2 arctan x, acabamos com essa expressão.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar integral 2x arctan x , dx. Observando a derivada, vemos que 2x arctan x está presente nela. Vamos isolar esse termo:
2x arctan x = ddx(x^2 arctan x) + 1x^2 + 1 - 1

Passo 4

Agora, substituímos 2x arctan x na integral pela expressão que encontramos:
integral 2x arctan x , dx = integral (ddx(x^2 arctan x) + 1x^2 + 1 - 1) dx

Passo 5

Vamos separar a integral em partes:
integral ddx(x^2 arctan x) dx + integral 1x^2 + 1 dx - integral 1 , dx
A primeira integral é direta, já que a integral da derivada de uma função é a própria função.

Passo 6

Calculando cada parte:
  1. integral ddx(x^2 arctan x) dx = x^2 arctan x
  2. integral 1x^2 + 1 dx = arctan x (porque a derivada de arctan x é 1x^2 + 1)
  3. integral 1 , dx = x

Passo 7

Juntando tudo:
x^2 arctan x + arctan x - x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral 2x arctan x , dx é igual a:
x^2 arctan x + arctan x - x + C

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