Calcule uma das seguintes integrais

integral d xx^2-3 x+2

integral d xx^2-5 x+6

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral dxx^2-3x+2. Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente lidando com funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2-3x+2. Fatorar significa escrever o polinômio como um produto de dois binômios.
Para fatorar x^2-3x+2, procuramos dois números que multiplicados dão +2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2.
Então, x^2-3x+2 = (x-1)(x-2).

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos reescrever a fração 1x^2-3x+2 como 1(x-1)(x-2).
Para integrar essa fração, vamos usar o método das frações parciais. Isso significa que vamos expressar 1(x-1)(x-2) como Ax-1 + Bx-2, onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos encontrar os valores de A e B. Temos:
1(x-1)(x-2) = Ax-1 + Bx-2
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-2) para eliminar os denominadores:
1 = A(x-2) + B(x-1)
Agora, vamos escolher valores para x que simplifiquem a equação. Se escolhermos x = 2:
1 = A(2-2) + B(2-1) Rightarrow 1 = 0 + B(1) Rightarrow B = 1
Agora, escolhemos x = 1:
1 = A(1-2) + B(1-1) Rightarrow 1 = A(-1) + 0 Rightarrow A = -1

Passo 5

Com A e B encontrados, nossa expressão fica:
1(x-1)(x-2) = -1x-1 + 1x-2
Agora, podemos integrar termo por termo:
integral dxx^2-3x+2 = integral ( -1x-1 + 1x-2 ) dx

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral -1x-1 dx + integral 1x-2 dx = -ln|x-1| + ln|x-2| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
-ln|x-1| + ln|x-2| = ln|x-2x-1|

Resposta

A integral integral dxx^2-3x+2 é igual a:
ln|x-2x-1| + C
Onde C é a constante de integração.

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