Sabendo-se que E=(e1, e2, e3) é base, e
f1=2 e1-e2, f2=e1-e2+2 e3, f3=e1+2 e3
pode-se dizer que (f1, f2, f3) também é base de E^3 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a base E=(vec e1,vec e2,vec e3) e define três vetores em função dela:
vec f1 = 2vec e1 - vec e2, vec f2 = vec e1 - vec e2 + 2vec e3, vec f3 = vec e1 + 2vec e3
Queremos saber se (vec f1,vec f2,vec f3) também é base de E^3. Para isso basta verificar se esses vetores são linearmente independentes (ou, equivalentemente, o determinante da matriz de coordenadas é diferente de zero).

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de vec f1,vec f2,vec f3 na base E. Em termos de componentes:
vec f1mapsto (2,,-1,,0), vec f2mapsto (1,,-1,,2), vec f3mapsto (1,,0,,2)
Montamos a matriz de mudança de base P cujas colunas são essas coordenadas:
P = 2 & 1 & 1 [6pt] -1 & -1 & 0 [6pt] 0 & 2 & 2 ]

Passo 3

Calculamos o determinante de P. Por expansão pela primeira linha:
det(P) =2cdotdet!-1 & 0 [3pt]2 & 2 -1cdotdet!-1 & 0 [3pt]0 & 2 +1cdotdet!-1 & -1 [3pt]0 & 2
Cada menor vale
det!-1 & 0 2 & 2=-2, det!-1 & 0 0 & 2=-2, det!-1 & -1 0 & 2=-2,
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det(P)=2cdot(-2)-1cdot(-2)+1cdot(-2)=-4+2-2=-4neq0 ]

Passo 4

Como det(P)neq0, a matriz P é invertível, o que significa que vec f1,vec f2,vec f3 são linearmente independentes e também geram E^3. Portanto formam uma base.

Resposta

Sim. Como det(P)=-4neq0, os vetores vec f1,vec f2,vec f3 são linearmente independentes e constituem uma base de E^3.

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