O enunciado dá a base e define três vetores em função dela:
Queremos saber se também é base de . Para isso basta verificar se esses vetores são linearmente independentes (ou, equivalentemente, o determinante da matriz de coordenadas é diferente de zero).
Passo 2
Escrevemos as coordenadas de na base . Em termos de componentes:
Montamos a matriz de mudança de base cujas colunas são essas coordenadas:
]
Passo 3
Calculamos o determinante de P. Por expansão pela primeira linha:
Como det(P)neq0, a matriz P é invertível, o que significa que vec f1,vec f2,vec f3 são linearmente independentes e também geram E^3. Portanto formam uma base.
Resposta
Sim. Como det(P)=-4neq0, os vetores vec f1,vec f2,vec f3 são linearmente independentes e constituem uma base de E^3.