Seja f(x, y)=x^{2}+3 x y-y^{2}.
a) Determine o diferencial d z.
b) Se x varia de 2 para 2,05 e y varia de 3 para 2,96 , determine \Delta z e d z.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}+3xy - y^{2}
e pede (a) o diferencial d z e (b) para x variando de 2 para 2{,}05 e y de 3 para 2{,}96, calcular \Delta z e d z. Vamos usar derivadas parciais, conceito de diferencial e avaliar as variações.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=3x-2y.
Logo o diferencial é
d z = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy.

Passo 3

Para \Delta z calculamos
\Delta z = f(2{,}05,2{,}96) - f(2,3).
Primeiro
f(2,3)=2^{2}+3\cdot2\cdot3 - 3^{2}=4+18-9=13.
Em seguida
f(2{,}05,2{,}96) =(2{,}05)^{2} + 3\cdot2{,}05\cdot2{,}96 - (2{,}96)^{2} =4{,}2025 + 18{,}204 - 8{,}7616 =13{,}6449.
Portanto
\Delta z =13{,}6449 - 13 =0{,}6449.

Passo 4

Para d z usamos dx=2{,}05-2=0{,}05 e dy=2{,}96-3=-0{,}04, avaliando as parciais em (2,3):
\frac{\partial f}{\partial x}(2,3)=2\cdot2+3\cdot3=13, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(2,3)=3\cdot2-2\cdot3=0.
Assim
d z =13\cdot0{,}05 + 0\cdot(-0{,}04)=0{,}65.

Resposta

\Delta z \approx 0{,}6449 d z = 0{,}65

Exercícios relacionados