Sabendo que sen alpha=35 com 0<alpha<pi e cos beta=13 com 3 pi2<beta<2 pi. Calcule:
sen(alpha+beta)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas informações trigonométricas: sen alpha = 35 com 0 < alpha < pi e cos beta = 13 com 3pi2 < beta < 2pi. Nosso objetivo é calcular sen(alpha + beta). Para isso, vamos precisar usar a fórmula da soma de senos e entender como encontrar os valores de cos alpha e sen beta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar cos alpha. Sabemos que sen^2 alpha + cos^2 alpha = 1. Já que sen alpha = 35, temos:
cos alpha = raiz1 - sen^2 alpha = raiz1 - (35)^2 = raiz1 - 925 = raiz1625 = 45
Como 0 < alpha < pi, o cosseno é positivo nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar sen beta. Sabemos que cos^2 beta + sen^2 beta = 1. Com cos beta = 13, temos:
sen beta = raiz1 - cos^2 beta = raiz1 - (13)^2 = raiz1 - 19 = raiz89 = 2raiz23
Mas precisamos considerar o sinal de sen beta. Como 3pi2 < beta < 2pi, beta está no quarto quadrante onde o seno é negativo. Então:
sen beta = -2raiz23

Passo 4

Agora que temos sen alpha, cos alpha, sen beta e cos beta, podemos usar a fórmula da soma dos senos:
sen(alpha + beta) = sen alpha cos beta + cos alpha sen beta
Substituindo os valores:
sen(alpha + beta) = (35)(13) + (45)(-2raiz23)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
sen(alpha + beta) = 35 cdot 13 + 45 cdot (-2raiz23) = 15 - 8raiz215
Para combinar as frações, encontramos um denominador comum:
sen(alpha + beta) = 315 - 8raiz215 = 3 - 8raiz215

Resposta

Portanto, sen(alpha + beta) = 3 - 8raiz215.

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