Sabendo que sen alpha=35 com 0<alpha<pi e cos beta=13 com 3 pi2<beta<2 pi. Calcule:
cos (alpha+beta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o cosseno da soma de dois ângulos, cos (alpha + beta). Dado que sin alpha = 35 com 0 < alpha < pi e cos beta = 13 com 3pi2 < beta < 2pi. Para isso, vamos usar as fórmulas de seno e cosseno e a identidade trigonométrica para a soma de ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do cosseno da soma de dois ângulos:
cos (alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta
Essa fórmula nos permite expressar o cosseno da soma em termos dos cossenos e senos dos ângulos individuais.

Passo 3

Sabemos que sin alpha = 35. Para encontrar cos alpha, vamos usar a identidade trigonométrica fundamental:
sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1
Substituindo o valor de sin alpha:
(35)^2 + cos^2 alpha = 1 925 + cos^2 alpha = 1 cos^2 alpha = 1 - 925 = 1625 cos alpha = 45
Como 0 < alpha < pi, cos alpha é positivo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar sin beta. Sabemos que cos beta = 13 e que beta está no quarto quadrante ( 3pi2 < beta < 2pi), onde o cosseno é positivo e o seno é negativo. Usando a mesma identidade:
sin^2 beta + cos^2 beta = 1 sin^2 beta + (13)^2 = 1 sin^2 beta + 19 = 1 sin^2 beta = 1 - 19 = 89 sin beta = -2raiz23
O sinal negativo foi escolhido porque beta está no quarto quadrante.

Passo 5

Agora que temos todos os valores necessários, vamos substituir na fórmula do cosseno da soma:
cos (alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta cos (alpha + beta) = (45) (13) - (35) (-2raiz23) cos (alpha + beta) = 415 + 6raiz215 cos (alpha + beta) = 4 + 6raiz215

Resposta

cos (alpha + beta) = 4 + 6raiz215

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