é classe em , calcule , sabendo que a curva C é parametrizada por gamma(t)=(t^3 cdot cos (pi t),-t^3 cdot sen(pi t),(1-t) cdot e^(1-t^2)), com-1 <= t <= 1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha para um campo vetorial específico F(x, y) ao longo de uma curva C que está parametrizada por gamma(t). O conteúdo envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e campos conservativos. Para resolver, vamos precisar verificar se o campo F é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial que facilite o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial F é conservativo se existir uma função escalar $ \phi(x, y) $ tal que phi(x, y) , onde F = nabla phi é o gradiente de $ \phi $. Isso significa que a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final da curva, simplificando muito o cálculo.
Passo 3
Para verificar se F(x, y) = ( y cdot cos(x y) + ln(y^2+1) + 4x,; x cdot cos(x y) + 2xyy^2+1 ) é conservativo, precisamos verificar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, se:
partial F1partial y = partial F2partial x
Vamos calcular cada uma:
Primeiro, partial F1partial y:
partialpartial y( y cdot cos(x y) + ln(y^2+1) + 4x ) = cos(x y) - x y sin(x y) + 2yy^2+1 + 0
Segundo, partial F2partial x:
partialpartial x( x cdot cos(x y) + 2xyy^2+1 ) = cos(x y) - x y sin(x y) + 2yy^2+1
Observamos que:
partial F1partial y = partial F2partial x
Portanto, o campo F é conservativo.
Passo 4
Como o campo é conservativo, existe uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que phi(x, y) . Vamos encontrar $ \phi(x, y) $.
Sabemos que:
F = nabla phi
Integrando $ F_1 $ em relação a $ x $:
phi(x, y)
onde $ g(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.