Sabendo que o campo vetorial
F(x, y)=(y cdot cos (x y)+ln (y^2+1)+4 x, x cdot cos (x y)+2 x yy^2+1)
é classe C^1 em R^2, calcule integralC F cdot d r, sabendo que a curva C é parametrizada por gamma(t)=(t^3 cdot cos (pi t),-t^3 cdot sen(pi t),(1-t) cdot e^(1-t^2)), com-1 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha para um campo vetorial específico F(x, y) ao longo de uma curva C que está parametrizada por gamma(t). O conteúdo envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e campos conservativos. Para resolver, vamos precisar verificar se o campo F é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial que facilite o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial F é conservativo se existir uma função escalar $ \phi(x, y) $ tal que phi(x, y) , onde F = nabla phi é o gradiente de $ \phi $. Isso significa que a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final da curva, simplificando muito o cálculo.

Passo 3

Para verificar se F(x, y) = ( y cdot cos(x y) + ln(y^2+1) + 4x,; x cdot cos(x y) + 2xyy^2+1 ) é conservativo, precisamos verificar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, se:
partial F1partial y = partial F2partial x
Vamos calcular cada uma:
Primeiro, partial F1partial y:
partialpartial y( y cdot cos(x y) + ln(y^2+1) + 4x ) = cos(x y) - x y sin(x y) + 2yy^2+1 + 0
Segundo, partial F2partial x:
partialpartial x( x cdot cos(x y) + 2xyy^2+1 ) = cos(x y) - x y sin(x y) + 2yy^2+1
Observamos que:
partial F1partial y = partial F2partial x
Portanto, o campo F é conservativo.

Passo 4

Como o campo é conservativo, existe uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que phi(x, y) . Vamos encontrar $ \phi(x, y) $.
Sabemos que:
F = nabla phi
Integrando $ F_1 $ em relação a $ x $:
phi(x, y)
onde $ g(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.
Agora, vamos usar $ F_2 $ para encontrar $ g(y) $. Sabemos que:
partial phipartial x = F1 = y cdot cos(x y) + ln(y^2+1) + 4x
Calculando a derivada de $ \phi(x, y) $ em relação a $ y $:
F1
Igualando às duas expressões de $ \frac{\partial \phi}{\partial y} $:
x
Isso implica que:
phi(x, y) = integral ( y cdot cos(x y) + ln(y^2+1) + 4x ) dx = sin(x y) + x ln(y^2+1) + 2x^2 + g(y)
Podemos ignorar a constante já que ela desaparece na integral. Portanto, a função potencial é:
g(y)

Passo 5

Agora que temos a função potencial $ \phi(x, y) $, podemos usar o teorema fundamental das integrais de linha para calcular a integral:
phi(x, y)
Vamos identificar os pontos inicial e final da curva $ C $ a partir da parametrização $ \gamma(t) $.
Para $ t = -1 $:
integralC F cdot dr = phi(x(1), y(1)) - phi(x(-1), y(-1))
Para $ t = 1 $:
C
Então, os pontos são:
  • Ponto inicial: $ (1, 0) $
  • Ponto final: $ (-1, 0) $
Agora, vamos calcular $ \phi $ nesses pontos.
Para $ P(1, 0) $:
gamma(t)
Para $ P(-1, 0) $:
t = -1

Resposta

A integral de linha é:
integralC F cdot d r = phi(-1, 0) - phi(1, 0) = 2 - 2 = 0

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