(Valor: 10 pontos) Determine os extremos locais (máximos, mínimos e pontos de sela). da função
e os valores da função nesses pontos. JUSTIFIQUE E REDIJA ADEQUADAMENTE SUA RESPOSTA.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os extremos locais (ou seja, máximos, mínimos e pontos de sela) da função $ f(x, y) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{y^{3}}{3} - 2x^{2} + 4y + 5 $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
Calculando a derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo a primeira equação:
Resolvendo a segunda equação:
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 5
Para classificar esses pontos críticos, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
Passo 6
Calculamos o determinante da matriz Hessiana $ D $ em cada ponto crítico:
Como $ f_{xy} = 0 $, simplifica para:
Passo 7
Agora, avaliamos $ D $ e $ f_{xx} $ em cada ponto crítico para classificar:
- Ponto (0, 2):
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, é um máximo local.
- Ponto (0, -2):
Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
- Ponto (4, 2):
Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
- Ponto (4, -2):
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, é um mínimo local.
Resposta
Os extremos locais da função $ f(x, y) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{y^{3}}{3} - 2x^{2} + 4y + 5 $ são:
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Máximo local em $ (0, 2) $ com valor $ f(0, 2) = \frac{0^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3} - 2(0)^{2} + 4(2) + 5 = -\frac{8}{3} + 8 + 5 = \frac{31}{3} $.
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Mínimo local em $ (4, -2) $ com valor $ f(4, -2) = \frac{4^{3}}{3} - \frac{(-2)^{3}}{3} - 2(4)^{2} + 4(-2) + 5 = \frac{64}{3} + \frac{8}{3} - 32 - 8 + 5 = \frac{72}{3} - 35 = 24 - 35 = -11 $.
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Pontos de sela em $ (0, -2) $ e $ (4, 2) $.