(Valor: 10 pontos) Determine os extremos locais (máximos, mínimos e pontos de sela). da função f(x, y)=x^3 / 3-y^3 / 3-2 x^2+4 y+5 e os valores da função nesses pontos. JUSTIFIQUE E REDIJA ADEQUADAMENTE SUA RESPOSTA.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os extremos locais (ou seja, máximos, mínimos e pontos de sela) da função $ f(x, y) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{y^{3}}{3} - 2x^{2} + 4y + 5 $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
x
Calculando a derivada parcial em relação a $ y $:
fx(x, y) = ddx(x^33) - ddx(y^33) - ddx(2x^2) + ddx(4y) + ddx(5) = x^2 - 4x

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
x^2 - 4x = 0 -y^2 + 4 = 0
Resolvendo a primeira equação:
x^2 - 4x = 0 implies x(x - 4) = 0 implies x = 0 ou x = 4
Resolvendo a segunda equação:
-y^2 + 4 = 0 implies y^2 = 4 implies y = 2 ou y = -2
Portanto, os pontos críticos são:
(0, 2), (0, -2), (4, 2), (4, -2)

Passo 5

Para classificar esses pontos críticos, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
fxx = ddx(fx) = ddx(x^2 - 4x) = 2x - 4
fyy = ddy(fy) = ddy(-y^2 + 4) = -2y
fxy = fyx = ddy(fx) = ddy(x^2 - 4x) = 0

Passo 6

Calculamos o determinante da matriz Hessiana $ D $ em cada ponto crítico:
D
Como $ f_{xy} = 0 $, simplifica para:
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2

Passo 7

Agora, avaliamos $ D $ e $ f_{xx} $ em cada ponto crítico para classificar:
  1. Ponto (0, 2):
D
fxx
fxx = 2(0) - 4 = -4
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, é um máximo local.
  1. Ponto (0, -2):
fyy = -2(2) = -4
D = (-4) cdot (-4) = 16 > 0
D > 0
Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
  1. Ponto (4, 2):
fxx < 0
fxx = 2(0) - 4 = -4
fyy = -2(-2) = 4
Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
  1. Ponto (4, -2):
D = (-4) cdot 4 = -16 < 0
D < 0
fxx = 2(4) - 4 = 4
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, é um mínimo local.

Resposta

Os extremos locais da função $ f(x, y) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{y^{3}}{3} - 2x^{2} + 4y + 5 $ são:
  • Máximo local em $ (0, 2) $ com valor $ f(0, 2) = \frac{0^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3} - 2(0)^{2} + 4(2) + 5 = -\frac{8}{3} + 8 + 5 = \frac{31}{3} $.
  • Mínimo local em $ (4, -2) $ com valor $ f(4, -2) = \frac{4^{3}}{3} - \frac{(-2)^{3}}{3} - 2(4)^{2} + 4(-2) + 5 = \frac{64}{3} + \frac{8}{3} - 32 - 8 + 5 = \frac{72}{3} - 35 = 24 - 35 = -11 $.
  • Pontos de sela em $ (0, -2) $ e $ (4, 2) $.

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