Seja X uma variável aleatória contínua tal que:

Calcule P(2<X<8).

Passo 1

Beleza, vamos simplificar. A gente tem uma variável contínua X com função de distribuição (CDF) dada por pedaços:
0, & x<0, 5k2,x, & 0 <= x<5, -tfrack2,x^2 +10k,x -25k, & 5 <= x<10, 25k, & x>=10
O que pedem? Calcular P(a.
Conteúdo: Propriedades de CDF (limite em , continuidade) e como extrair probabilidade de um intervalo usando
Vamos precisar achar o valor de pra CDF ser válida (chegar a 1 em ) e depois calcular e .

Passo 2

A CDF deve tender a 1 quando limxto+inftyF(x)=25k = 1 Longrightarrow k = 125 . Aqui, para , . Logo
(confirmação extra: em as duas fórmulas dão o mesmo valor, garantindo continuidade, mas isso já bate certinho com .)

Passo 3

Agora calculamos os valores da CDF nos pontos que interessam.
  1. Para F(2)=5k2cdot2 = 5k = 5cdot125 = 525 = 15 , cai no pedaço F(8) = -k2,8^2 +10kcdot8 -25k = -k2cdot64 +80k -25k = -32k +80k -25k =23k = 23cdot125 = 2325 :
  1. Para , cai no pedaço :

Passo 4

A probabilidade que queremos é
P(2

Resposta

boxedP(2

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