Sabendo que certa população é constituída dos valores 4, 5, 6, 9; após o cálculo de todas as amostras possíveis de tamanho 2 , com reposição, apresente o seguinte:
a) Determinação da média e do desvio padrão da população;
b) Determinação da média e do desvio padrão da distribuição amostral das médias.
a) Determinação da média e do desvio padrão da população;
b) Determinação da média e do desvio padrão da distribuição amostral das médias.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma população com os valores 4, 5, 6 e 9. Precisamos calcular duas coisas:
a) A média e o desvio padrão dessa população.
b) A média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias, considerando todas as amostras possíveis de tamanho 2 com reposição.
a) A média e o desvio padrão dessa população.
b) A média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias, considerando todas as amostras possíveis de tamanho 2 com reposição.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da população. A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão da população. O desvio padrão mostra o quanto os valores estão espalhados em relação à média. Primeiro, calculamos a variância, que é a média dos quadrados das diferenças de cada valor para a média:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Passo 4
Agora, vamos para a parte b). Precisamos considerar todas as amostras possíveis de tamanho 2 com reposição. Como a população tem 4 valores, e com reposição, temos
amostras. Vamos listar todas elas:
- (4, 4)
- (4, 5)
- (4, 6)
- (4, 9)
- (5, 4)
- (5, 5)
- (5, 6)
- (5, 9)
- (6, 4)
- (6, 5)
- (6, 6)
- (6, 9)
- (9, 4)
- (9, 5)
- (9, 6)
- (9, 9)
Passo 5
Vamos calcular a média de cada amostra:
- (4, 4) → Média = 4
- (4, 5) → Média = 4,5
- (4, 6) → Média = 5
- (4, 9) → Média = 6,5
- (5, 4) → Média = 4,5
- (5, 5) → Média = 5
- (5, 6) → Média = 5,5
- (5, 9) → Média = 7
- (6, 4) → Média = 5
- (6, 5) → Média = 5,5
- (6, 6) → Média = 6
- (6, 9) → Média = 7,5
- (9, 4) → Média = 6,5
- (9, 5) → Média = 7
- (9, 6) → Média = 7,5
- (9, 9) → Média = 9
Passo 6
Agora, vamos calcular a média da distribuição amostral das médias. Somamos todas as médias das amostras e dividimos pelo número de amostras:
Somando todos:
Então,
Passo 7
Por fim, vamos calcular o desvio padrão da distribuição amostral das médias. Primeiro, calculamos a variância das médias das amostras:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Então,
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
a) A média da população é 6 e o desvio padrão é aproximadamente 1,87.
b) A média da distribuição amostral das médias é 5,75 e o desvio padrão é aproximadamente 1,31.