Sabendo que certa população é constituída dos valores 4, 5, 6, 9; após o cálculo de todas as amostras possíveis de tamanho 2 , com reposição, apresente o seguinte:
a) Determinação da média e do desvio padrão da população;
b) Determinação da média e do desvio padrão da distribuição amostral das médias.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma população com os valores 4, 5, 6 e 9. Precisamos calcular duas coisas:
a) A média e o desvio padrão dessa população.
b) A média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias, considerando todas as amostras possíveis de tamanho 2 com reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da população. A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. Então:
Média = 4 + 5 + 6 + 94 = 244 = 6 é

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da população. O desvio padrão mostra o quanto os valores estão espalhados em relação à média. Primeiro, calculamos a variância, que é a média dos quadrados das diferenças de cada valor para a média:
Variância = (4-6)^2 + (5-6)^2 + (6-6)^2 + (9-6)^24 = 4 + 1 + 0 + 94 = 144 = 3,5 â
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Desvio Padrão = raiz3,5 approx 1,87 ã

Passo 4

Agora, vamos para a parte b). Precisamos considerar todas as amostras possíveis de tamanho 2 com reposição. Como a população tem 4 valores, e com reposição, temos 4 times 4 = 16 amostras. Vamos listar todas elas:
  1. (4, 4)
  2. (4, 5)
  3. (4, 6)
  4. (4, 9)
  5. (5, 4)
  6. (5, 5)
  7. (5, 6)
  8. (5, 9)
  9. (6, 4)
  10. (6, 5)
  11. (6, 6)
  12. (6, 9)
  13. (9, 4)
  14. (9, 5)
  15. (9, 6)
  16. (9, 9)

Passo 5

Vamos calcular a média de cada amostra:
  1. (4, 4) → Média = 4
  2. (4, 5) → Média = 4,5
  3. (4, 6) → Média = 5
  4. (4, 9) → Média = 6,5
  5. (5, 4) → Média = 4,5
  6. (5, 5) → Média = 5
  7. (5, 6) → Média = 5,5
  8. (5, 9) → Média = 7
  9. (6, 4) → Média = 5
  10. (6, 5) → Média = 5,5
  11. (6, 6) → Média = 6
  12. (6, 9) → Média = 7,5
  13. (9, 4) → Média = 6,5
  14. (9, 5) → Média = 7
  15. (9, 6) → Média = 7,5
  16. (9, 9) → Média = 9

Passo 6

Agora, vamos calcular a média da distribuição amostral das médias. Somamos todas as médias das amostras e dividimos pelo número de amostras:
Média das Amostras = 4 + 4,5 + 5 + 6,5 + 4,5 + 5 + 5,5 + 7 + 5 + 5,5 + 6 + 7,5 + 6,5 + 7 + 7,5 + 916 é
Somando todos:
4 + 4,5 + 5 + 6,5 + 4,5 + 5 + 5,5 + 7 + 5 + 5,5 + 6 + 7,5 + 6,5 + 7 + 7,5 + 9 = 92
Então,
Média das Amostras = 9216 = 5,75 é

Passo 7

Por fim, vamos calcular o desvio padrão da distribuição amostral das médias. Primeiro, calculamos a variância das médias das amostras:
Variância = (4-5,75)^2 + (4,5-5,75)^2 + dots + (9-5,75)^216 â
Calculando cada termo:
(4-5,75)^2 = 3,0625
(4,5-5,75)^2 = 1,5625
(5-5,75)^2 = 0,5625
(6,5-5,75)^2 = 0,5625
(4,5-5,75)^2 = 1,5625
(5-5,75)^2 = 0,5625
(5,5-5,75)^2 = 0,0625
(7-5,75)^2 = 1,5625
(5-5,75)^2 = 0,5625
(5,5-5,75)^2 = 0,0625
(6-5,75)^2 = 0,0625
(7,5-5,75)^2 = 3,0625
(6,5-5,75)^2 = 0,5625
(7-5,75)^2 = 1,5625
(7,5-5,75)^2 = 3,0625
(9-5,75)^2 = 10,5625
Somando todos:
3,0625 + 1,5625 + 0,5625 + 0,5625 + 1,5625 + 0,5625 + 0,0625 + 1,5625 + 0,5625 + 0,0625 + 0,0625 + 3,0625 + 0,5625 + 1,5625 + 3,0625 + 10,5625 = 27,5
Então,
Variância das Amostras = 27,516 = 1,71875 â
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Desvio Padrão das Amostras = raiz1,71875 approx 1,31 ã

Resposta

a) A média da população é 6 e o desvio padrão é aproximadamente 1,87.
b) A média da distribuição amostral das médias é 5,75 e o desvio padrão é aproximadamente 1,31.

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