A divisão de inspeção do departamento de pesos e medidas de uma determinada cidade está interessada em calcular a real quantidade de refrigerante que é colocada em garrafas de 2 litros, no setor de engarrafamento de uma grande empresa de refrigerantes. O gerente do setor de engarrafamento informou à divisão de inspeção que o desvio padrão para garrafas de 2 litros é de 0,05 litro. Uma amostra aleatória de 100 garrafas de 2 litros, obtida deste setor de engarrafamento, indica uma média de 1,985 litros. Qual é a probabilidade de se obter uma média amostral de 1,985 ou menos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos fala sobre a quantidade real de refrigerante que está sendo colocada nas garrafas de 2 litros de uma empresa. A gente sabe que o desvio padrão dessa quantidade é de 0,05 litro. Tiraram uma amostra de 100 garrafas e a média encontrada foi de 1,985 litros. A pergunta é: qual a probabilidade de encontrar uma média amostral de 1,985 litros ou menos?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística, mais especificamente distribuição amostral da média e distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a distribuição amostral da média. Quando tiramos várias amostras de um mesmo tamanho de uma população, as médias dessas amostras formam uma distribuição própria. Essa distribuição tem uma média igual à média da população e um desvio padrão chamado erro padrão da média.
A fórmula do erro padrão é:
sigmaX = sigmaraizn
Onde:
  • sigma é o desvio padrão da população (0,05 litro).
  • n é o tamanho da amostra (100 garrafas).

Passo 3

Vamos calcular o erro padrão da média usando a fórmula:
sigmaX = 0,05raiz100 = 0,0510 = 0,005
Então, o erro padrão da média é 0,005 litros.

Passo 4

Agora, queremos saber a probabilidade de a média amostral ser 1,985 litros ou menos. Para isso, vamos usar a distribuição normal padrão (z). Primeiro, calculamos o z-score, que nos diz quantos desvios padrão a nossa média amostral está da média da população.
A fórmula do z-score é:
z = X - musigmaX
Onde:
  • X é a média amostral (1,985 litros).
  • mu é a média da população (2 litros).
  • sigmaX é o erro padrão (0,005 litros).

Passo 5

Vamos calcular o z-score:
z = 1,985 - 20,005 = -0,0150,005 = -3
O z-score é -3. Isso significa que a média amostral está 3 desvios padrão abaixo da média da população.

Passo 6

Com o z-score em mãos, precisamos encontrar a probabilidade acumulada até esse valor na tabela da distribuição normal padrão. Um z-score de -3 corresponde a uma probabilidade muito baixa.
Consultando a tabela ou usando uma calculadora de normal padrão, encontramos que:
P(Z <= -3) approx 0,0013
Isso quer dizer que há aproximadamente 0,13% de chance de obter uma média amostral de 1,985 litros ou menos.

Resposta

A probabilidade de obter uma média amostral de 1,985 litros ou menos é de aproximadamente 0,13%.

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