A divisão de inspeção do departamento de pesos e medidas de uma determinada cidade está interessada em calcular a real quantidade de refrigerante que é colocada em garrafas de 2 litros, no setor de engarrafamento de uma grande empresa de refrigerantes. O gerente do setor de engarrafamento informou à divisão de inspeção que o desvio padrão para garrafas de 2 litros é de 0,05 litro. Uma amostra aleatória de 100 garrafas de 2 litros, obtida deste setor de engarrafamento, indica uma média de 1,985 litros. Qual é a probabilidade de se obter uma média amostral de 1,985 ou menos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos fala sobre a quantidade real de refrigerante que está sendo colocada nas garrafas de 2 litros de uma empresa. A gente sabe que o desvio padrão dessa quantidade é de 0,05 litro. Tiraram uma amostra de 100 garrafas e a média encontrada foi de 1,985 litros. A pergunta é: qual a probabilidade de encontrar uma média amostral de 1,985 litros ou menos?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística, mais especificamente distribuição amostral da média e distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a distribuição amostral da média. Quando tiramos várias amostras de um mesmo tamanho de uma população, as médias dessas amostras formam uma distribuição própria. Essa distribuição tem uma média igual à média da população e um desvio padrão chamado erro padrão da média.
A fórmula do erro padrão é:
Onde:
-
é o desvio padrão da população (0,05 litro).sigma -
é o tamanho da amostra (100 garrafas).n
Passo 3
Vamos calcular o erro padrão da média usando a fórmula:
Então, o erro padrão da média é 0,005 litros.
Passo 4
Agora, queremos saber a probabilidade de a média amostral ser 1,985 litros ou menos. Para isso, vamos usar a distribuição normal padrão (z). Primeiro, calculamos o z-score, que nos diz quantos desvios padrão a nossa média amostral está da média da população.
A fórmula do z-score é:
Onde:
-
é a média amostral (1,985 litros).X -
é a média da população (2 litros).mu -
é o erro padrão (0,005 litros).sigmaX
Passo 5
Vamos calcular o z-score:
O z-score é -3. Isso significa que a média amostral está 3 desvios padrão abaixo da média da população.
Passo 6
Com o z-score em mãos, precisamos encontrar a probabilidade acumulada até esse valor na tabela da distribuição normal padrão. Um z-score de -3 corresponde a uma probabilidade muito baixa.
Consultando a tabela ou usando uma calculadora de normal padrão, encontramos que:
Isso quer dizer que há aproximadamente 0,13% de chance de obter uma média amostral de 1,985 litros ou menos.
Resposta
A probabilidade de obter uma média amostral de 1,985 litros ou menos é de aproximadamente 0,13%.