Sabendo que para um soprador que trabalha a 2.000 rpm , cujo ponto de operação com ar à 20 { }^{\circ} \mathrm{C} é \mathrm{Q}=5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, \mathrm{P}_{\mathrm{T}}=2,80 \mathrm{mH}_{2} \mathrm{O}, com potência \dot{\mathrm{W}}_{\mathrm{u}}=180 \mathrm{~kW}, pede-se:
a. Considerando agora que se manteve a operação a 20^{\circ} \mathrm{C} e variou-se o número de rotações do equipamento para 2500 rpm , verifique a vazão, a carga, a pressão e a potência do novo ponto de operação;
b. Considerando a vazão de operação constante, verifique qual a pressão de total e a potência a 35{ }^{\circ} \mathrm{C};
c. Considere a pressão total de operação constante, verifique a carga (ou altura de elevação), bem como a rotação e a vazão e a potência a 35{ }^{\circ} \mathrm{C};
d. Considere agora que se troca o ar a 20^{\circ} \mathrm{C} por metano a 20^{\circ} \mathrm{C} ( \rho_{\text {metano }} a 20^{\circ} \mathrm{C}=0,72 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) e mantém-se a pressão total de operação constante, verifique a carga, a rotação, a vazão e a potência da operação;
e. Por fim, considere a troca do ar a 20^{\circ} \mathrm{C} pelo metano a 20^{\circ} \mathrm{C} ( \rho_{\text {metano }} a 20^{\circ} \mathrm{C}=0,72 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ), porém agora, mantendo apenas a vazão constante, verifique a pressão de operação total e a potência.
Dados: \rho_{\mathrm{ar}} a 20^{\circ} \mathrm{C}=1,204 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \rho_{\mathrm{ar}} 35{ }^{\circ} \mathrm{C}=1,145 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; 1 \mathrm{mH}_{2} \mathrm{O}=9.800 \mathrm{~Pa} ; \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

Primeiro vamos identificar exatamente o que o enunciado pede e quais dados temos. O enunciado faz cinco perguntas (a) a (e) — cada uma pede novos valores de vazão, carga (altura), pressão total e potência segundo mudanças de rotação, temperatura ou fluido. Dados fornecidos (todos usados nas contas):
\begin{aligned} &\text{Ponto inicial: }N_1 = 2000\\ \text{rpm},\quad Q_1 = 5{,}0\\ \mathrm{m^3/s},\quad P_{T1}=2{,}80\\ \mathrm{mH_2O},\\\ &\dot W_{u1} = 180\\ \mathrm{kW} \\\ &\rho_{\text{ar},20^\circ\text{C}}=1{,}204\\ \mathrm{kg/m^3},\quad \rho_{\text{ar},35^\circ\text{C}}=1{,}145\\ \mathrm{kg/m^3},\quad \rho_{\text{metano},20^\circ\text{C}}=0{,}72\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &1\\ \mathrm{mH_2O}=9800\\ \mathrm{Pa},\quad g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. \end{aligned}
Perguntas resumo:
(a) Mudar N de 2000 para 2500 rpm (mesma temperatura e fluido) — calcular Q, carga, pressão e potência no novo ponto.
(b) Manter vazão constante (igual a Q_1) mas passar para 35^\circC — calcular pressão total e potência.
(c) Manter a pressão total de operação constante (igual à inicial), passar para 35^\circC — calcular carga (altura), rotação, vazão e potência.
(d) Trocar ar a 20^\circC por metano a 20^\circC e manter a pressão total constante — calcular carga, rotação, vazão e potência.
(e) Trocar ar a 20^\circC por metano a 20^\circC e manter apenas a vazão constante — calcular pressão total e potência.

Passo 2

Explicar as leis de semelhança (afinity laws) e a relação entre pressão, carga e densidade — a teoria básica que vamos usar, com muita calma:
  • Lei 1 (vazão): para um ventilador/soprador geometricamente semelhante, a vazão volumétrica escala com a rotação:
Q \propto N.
Na prática:
Q_2 = Q_1\frac{N_2}{N_1}.
  • Lei 2 (pressão/energia específica): a variação de pressão (em Pa) fornecida pela máquina escala como densidade vezes o quadrado da rotação (essa vem da equação de Euler para turbomáquinas):
\Delta p \propto \rho N^2.
Na forma prática:
\Delta p_2 = \Delta p_1\frac{\rho_2}{\rho_1}\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2.
  • Lei 3 (potência): a potência (e.g. potência no eixo ou potência útil, assumindo eficiência constante) escala como densidade vezes o cubo da rotação:
\dot W \propto \rho N^3.
Na forma prática:
\dot W_2 = \dot W_1\frac{\rho_2}{\rho_1}\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^3.
Observações importantes e como usamos cada fórmula:
  • Quando o fluido não muda ( \rho_2=\rho_1), as fórmulas reduzem a Q\propto N, \Delta p\propto N^2, \dot W\propto N^3.
  • A “carga” (altura de elevação) costuma ser expressa em metros de fluido pela fórmula
H = \frac{\Delta p}{\rho g}.
Mas o enunciado dá pressão em \mathrm{mH_2O} (metros de coluna de água), ou seja, usa a referência da água para converter pressão em Pa: 1\\ \mathrm{mH_2O}=9800\\ \mathrm{Pa}. Vou apresentar quando for útil tanto a pressão em Pa quanto a carga em \mathrm{mH_2O} e também a carga usando a densidade do gás (explicando o significado).

Passo 3

Preparar valores iniciais em unidades úteis (conversões iniciais, para não perder tempo depois):
  • Pressão inicial em Pa (converter de \mathrm{mH_2O} para Pa usando 1\\ \mathrm{mH_2O}=9800\\ \mathrm{Pa}):
\Delta p_1 = 2{,}80\\ \mathrm{mH_2O}\times 9800\\ \frac{\mathrm{Pa}}{\mathrm{mH_2O}} = 27440\\ \mathrm{Pa}.
  • Confirmar que a potência dada \dot W_{u1}=180\\ \mathrm{kW} será usada nas leis de semelhança; aceitamos que as eficiências relativas se mantêm caso a caso (hipótese habitual desses exercícios).

Passo 4

Resolver item (a): mudança de N de 2000 para 2500 rpm, mesma temperatura/fluido.
  • Calcular fator de rotação:
\frac{N_2}{N_1}=\frac{2500}{2000}=1{,}25.
  • Vazão nova usando Q\propto N:
Q_2 = Q_1\frac{N_2}{N_1} = 5{,}0\cdot 1{,}25 = 6{,}25\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Carga (em \mathrm{mH_2O}) usando H\propto N^2 (ou \Delta p\propto N^2 e converter para \mathrm{mH_2O}):
H_2 = H_1\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2 = 2{,}80\cdot (1{,}25)^2 = 2{,}80\cdot 1{,}5625 = 4{,}375\\ \mathrm{mH_2O}.
  • Pressão em Pa correspondente:
\Delta p_2 = 4{,}375\\ \mathrm{mH_2O}\times 9800\\ = 42875\\ \mathrm{Pa}.
  • Potência usando \dot W\propto N^3 (mesma densidade, portanto \rho_2/\rho_1=1):
\dot W_2 = \dot W_1\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^3 = 180\cdot (1{,}25)^3 = 180\cdot 1{,}953125 = 351{,}5625\\ \mathrm{kW}.
Arredondando com sentido prático: Q_2=6{,}25\\ \mathrm{m^3/s}, H_2=4{,}375\\ \mathrm{mH_2O}, \Delta p_2=42875\\ \mathrm{Pa}, \dot W_2\approx 351{,}56\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Resolver item (b): vazão constante ( Q mantida igual a 5{,}0\\ \mathrm{m^3/s}), temperatura 35^\circC ( \rho muda para 1{,}145\\ \mathrm{kg/m^3}). Aqui assumimos que a rotação permanece a mesma ( N = 2000 rpm) — o enunciado não pede mudança de N.
  • Para \Delta p com mesma rotação, valem \Delta p\propto \rho. Assim:
\Delta p_2 = \Delta p_1\frac{\rho_2}{\rho_1} = 27440\cdot\frac{1{,}145}{1{,}204}.
Calculemos a razão:
\frac{1{,}145}{1{,}204}\approx 0{,}9509967.
Logo
\Delta p_2 \approx 27440\cdot 0{,}9509967 \approx 26095{,}3\\ \mathrm{Pa}.
  • Em \mathrm{mH_2O}:
H_2(\mathrm{mH_2O})=\frac{\Delta p_2}{9800}\approx\frac{26095{,}3}{9800}\approx 2{,}662\\ \mathrm{mH_2O}.
  • Potência escala com \rho quando N é fixo (pois \dot W\propto \rho N^3 e N não muda), então:
\dot W_2=\dot W_1\frac{\rho_2}{\rho_1}=180\cdot 0{,}9509967\approx 171{,}18\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Comentário didático curto sobre (b): por que a potência cai? Explicação amigável: a máquina fornece uma diferença de energia por unidade de massa que depende de N; se a densidade do ar diminui (ar mais quente), para a mesma rotação e mesma vazão volumétrica há menos massa por segundo passando, logo a potência requerida diminui proporcionalmente à densidade. Por isso \dot W caiu de 180 para \approx171{,}18\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Resolver item (c): manter a pressão total de operação constante igual à inicial ( \Delta p_2=\Delta p_1=27440\\ \mathrm{Pa}), temperatura 35^\circC ( \rho_2=1{,}145). Precisamos obter a nova rotação N_2, a vazão Q_2, a carga e a potência.
  • Usamos a relação geral \Delta p_2 = \Delta p_1\frac{\rho_2}{\rho_1}\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2. Aqui queremos \Delta p_2=\Delta p_1, logo:
1 = \frac{\rho_2}{\rho_1}\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2=\frac{\rho_1}{\rho_2}.
Portanto
\frac{N_2}{N_1}=\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}.
  • Calcular a razão:
\frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{1{,}204}{1{,}145}\approx 1{,}051532,\qquad \sqrt{1{,}051532}\approx 1{,}025483.
Logo
N_2 = N_1\cdot 1{,}025483 \approx 2000\cdot 1{,}025483 = 2050{,}97\\ \mathrm{rpm}.
  • Vazão nova (pois Q\propto N):
Q_2 = Q_1\frac{N_2}{N_1} = 5{,}0\cdot 1{,}025483 \approx 5{,}1274\\ \mathrm{m^3/s}.
  • A “carga” pedida: há duas maneiras de expressar carga. Se maintainos \Delta p em Pa constante, a carga em termos de coluna de água ( \mathrm{mH_2O}) permanece
H(\mathrm{mH_2O})=\frac{\Delta p}{9800}=2{,}80\\ \mathrm{mH_2O}
(ou seja, a pressão total em Pa é a mesma, portanto em mH2O também). Se quisermos a carga calculada pela fórmula H=\Delta p/(\rho g) usando a densidade do gás \rho_2, obtemos uma altura numérica grande (porque o gás é pouco denso):
H_{\text{gas}}=\frac{27440}{1{,}145\cdot 9{,}81}\approx \frac{27440}{11{,}236}\approx 2442{,}24\\ \mathrm{m}.
  • Potência: para o caso de \Delta p constante e mudança de \rho, pode-se usar a fórmula geral. Mas há uma simplificação útil: com \Delta p mantida constante, ao combinar as leis obtemos
\dot W_2 = \dot W_1\frac{N_2}{N_1}.
(derivação curta: \dot W\propto \rho N^3 e com \Delta p constante temos \rho N^2= constante, logo \dot W\propto N). Assim
\dot W_2 = 180\cdot 1{,}025483 \approx 184{,}59\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Resolver item (d): trocar ar a 20^\circC por metano a 20^\circC ( \rho_{\text{CH4}}=0{,}72\\ \mathrm{kg/m^3}) e manter a pressão total de operação constante (igual à inicial). Encontrar carga, rotação, vazão e potência.
  • Mesma lógica do item (c): para \Delta p constante,
\frac{N_2}{N_1}=\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}=\sqrt{\frac{1{,}204}{0{,}72}}.
Calcule:
\frac{1{,}204}{0{,}72}\approx 1{,}672222,\qquad \sqrt{1{,}672222}\approx 1{,}293163.
Logo
N_2\approx 2000\cdot 1{,}293163 = 2586{,}33\\ \mathrm{rpm}.
  • Vazão:
Q_2 = 5{,}0\cdot 1{,}293163 \approx 6{,}4658\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Carga: a pressão em Pa permanece \Delta p=27440\\ \mathrm{Pa}, então em \mathrm{mH_2O} continua 2{,}80\\ \mathrm{mH_2O}. Se desejar a carga em metros usando a densidade do metano:
H_{\text{CH4}}=\frac{27440}{0{,}72\cdot 9{,}81} = \frac{27440}{7{,}0632}\approx 3885{,}45\\ \mathrm{m}.
(Comentário: novamente esse valor é apenas a grande altura equivalente quando se usa a densidade do gás; em ventiladores costuma-se usar mH2O como referência.)
  • Potência: com \Delta p constante, vale a mesma simplificação do item (c):
\dot W_2 = \dot W_1\frac{N_2}{N_1} = 180\cdot 1{,}293163 \approx 232{,}77\\ \mathrm{kW}.

Passo 9

Resolver item (e): trocar ar a 20^\circC por metano a 20^\circC, mantendo apenas a vazão constante (isto é, Q fixo em 5{,}0\\ \mathrm{m^3/s}). Aqui assumimos que a rotação N permanece a mesma do ponto de referência (não foi pedido alterar N), então N=2000\\ \mathrm{rpm}.
  • Com N fixo e Q fixo, ao trocar a densidade, a pressão total (em Pa) escala com a densidade:
\Delta p_2 = \Delta p_1\frac{\rho_2}{\rho_1} = 27440\cdot\frac{0{,}72}{1{,}204}.
Calcule a razão:
\frac{0{,}72}{1{,}204}\approx 0{,}5973423.
Logo
\Delta p_2 \approx 27440\cdot 0{,}5973423 \approx 16382{,}5\\ \mathrm{Pa}.
  • Em \mathrm{mH_2O}:
H_2(\mathrm{mH_2O})=\frac{16382{,}5}{9800}\approx 1{,}6713\\ \mathrm{mH_2O}.
  • Potência: como \dot W\propto \rho para N fixo,
\dot W_2 = \dot W_1\frac{\rho_2}{\rho_1} = 180\cdot 0{,}5973423 \approx 107{,}52\\ \mathrm{kW}.

Passo 10

Resumo rápido das interpretações e checagem de consistência (didática):
  • Sempre verificar se o que se mantém constante é a pressão em Pa, a vazão volumétrica ou a rotação — cada hipótese dita qual fórmula de semelhança aplicar.
  • Quando a pressão total é dita “constante” normalmente significa a mesma diferença de pressão em Pa entre entrada e saída; isto resulta em aumento de rotação se a densidade diminuir (para compensar).
  • Quando a vazão volumétrica se mantém constante e a densidade muda, a massa por segundo muda e isso corta (ou aumenta) a potência proporcionalmente à densidade.
  • Quando usar “mH2O” tenha em mente: é uma unidade de pressão (Pa) baseada em coluna de água; manter \Delta p constante implica manter o mesmo valor em Pa (e também o mesmo valor em mH2O).

Resposta

(a) Q_2=6{,}25\\ \mathrm{m^3/s};\\ H_2=4{,}375\\ \mathrm{mH_2O};\\ \Delta p_2=42875\\ \mathrm{Pa};\\ \dot W_2\approx 351{,}56\\ \mathrm{kW}.
(b) \Delta p_2\approx 26095{,}3\\ \mathrm{Pa}\\ (H_2\approx 2{,}662\\ \mathrm{mH_2O});\\ \dot W_2\approx 171{,}18\\ \mathrm{kW}.
(c) H(\mathrm{mH_2O})=2{,}80\\ \mathrm{mH_2O}\\ (\Delta p=27440\\ \mathrm{Pa});\\ N_2\approx 2050{,}97\\ \mathrm{rpm};\\ Q_2\approx 5{,}1274\\ \mathrm{m^3/s};\\ \dot W_2\approx 184{,}59\\ \mathrm{kW}.
(d) H(\mathrm{mH_2O})=2{,}80\\ \mathrm{mH_2O}\\ (\Delta p=27440\\ \mathrm{Pa});\\ N_2\approx 2586{,}33\\ \mathrm{rpm};\\ Q_2\approx 6{,}4658\\ \mathrm{m^3/s};\\ \dot W_2\approx 232{,}77\\ \mathrm{kW}.
(e) \Delta p_2\approx 16382{,}5\\ \mathrm{Pa}\\ (H_2\approx 1{,}6713\\ \mathrm{mH_2O});\\ \dot W_2\approx 107{,}52\\ \mathrm{kW}.

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