Sabendo que o conjunto das soluções de um sistema de equações lineares homogêneas é um subespaço vetorial de Mn times 1(R), verifique, em cada item a seguir, se W é subespaço vetorial de V.
V=M2(R) e W=(ccx & y z & w) in V ; x-y=0 e z+w-2=0.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial
V = M2(R)
e o conjunto
W = lx & y z & win V mid x - y = 0 e z + w - 2 = 0r
Queremos verificar se W é de fato um subespaço vetorial de V.

Passo 2

Lembrando a definição: um subconjunto Wsubseteq V é subespaço vetorial se, e somente se,
1. Wneqemptyset.
2. para quaisquer u,vin W, tem-se u+vin W (fechamento sob soma).
3. para qualquer alphainR e uin W, tem-se alpha uin W (fechamento sob multiplicação escalar).

Passo 3

Verificamos a condição de não-vazio usando o vetor zero de V, que é a matriz
0 = 0 & 0 [6pt] 0 & 0
Para pertencer a W devemos ter
x - y = 0 e z + w - 2 = 0
No caso da zero, x=y=0 satisfaz x-y=0, mas z+w-2 = 0+0-2 = -2neq0.
Portanto 0notin W, ou seja, W não contém o vetor zero.]

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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