Sabendo que o conjunto das soluções de um sistema de equações lineares homogêneas é um subespaço vetorial de , verifique, em cada item a seguir, se é subespaço vetorial de . e e .
Passo 1
O enunciado define e
Queremos verificar se W é subespaço vetorial de V. Para isso, vamos usar o teste de subespaço, que pede: (i) Wneqemptyset, (ii) fechamento sob soma e (iii) fechamento sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que W não é vazio observando que a matriz zero satisfaz as condições:
0&00&0tem 0-0=0 e 0+0=0,
logo 0in W.
Passo 3
Sejam
A=x1 & y1 z1 & w1,; B=x2 & y2 z2 & w2in W,
isto é, xi - yi=0 e zi + wi=0 para i=1,2. Então
A+B = x1+x2 & y1+y2 z1+z2 & w1+w2
satisfaz (x1+x2)-(y1+y2)=(x1-y1)+(x2-y2)=0 e (z1+z2)+(w1+w2)=(z1+w1)+(z2+w2)=0,
logo A+Bin W. Para lambdainR,