Sabendo que o conjunto das soluções de um sistema de equações lineares homogêneas é um subespaço vetorial de Mn times 1(R), verifique, em cada item a seguir, se W é subespaço vetorial de V.
V=M2(R) e W=(ccx & y z & w) in V ; x-y=0 e z+w=0.

Passo 1

O enunciado define V = M2(R) e
W = glx & y z & win V ;m|; x - y = 0,; z + w = 0gr
Queremos verificar se W é subespaço vetorial de V. Para isso, vamos usar o teste de subespaço, que pede: (i) Wneqemptyset, (ii) fechamento sob soma e (iii) fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio observando que a matriz zero satisfaz as condições:
0&00&0tem 0-0=0 e 0+0=0,
logo 0in W.

Passo 3

Sejam
A=x1 & y1 z1 & w1,; B=x2 & y2 z2 & w2in W,
isto é, xi - yi=0 e zi + wi=0 para i=1,2. Então
A+B = x1+x2 & y1+y2 z1+z2 & w1+w2
satisfaz
(x1+x2)-(y1+y2)=(x1-y1)+(x2-y2)=0 e
(z1+z2)+(w1+w2)=(z1+w1)+(z2+w2)=0,
logo A+Bin W. Para lambdainR,
lambda A = lambda x1 & lambda y1 lambda z1 & lambda w1
satisfaz
lambda x1-lambda y1=lambda(x1-y1)=0 e
lambda z1+lambda w1=lambda(z1+w1)=0,
logo lambda Ain W.

Passo 4

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de V.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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