Resolva cada equação diferencial pelo método da variação de parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
usando o método da variação de parâmetros. Vamos precisar achar primeiro a solução geral da homogênea, depois calcular o Wronskiano e aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para obter uma solução particular.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea. A equação característica é
que tem raízes r=1 e r=2. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais e . Temos
$$y_1’=e^x,
\quad y_2’=2e^{2x},$$
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Passo 4
Definimos f(x)=e^xsin x e usamos as fórmulas
$$u_1’=-\frac{y_2,f}{W},
\quad u_2’=\frac{y_1,f}{W}.$$
Substituindo:
u1'=-y2,fW, u2'=y1,fW
u1'=-e^2xcdot e^xsin xe^3x=-sin x,
Passo 5
Integramos as derivadas de u1 e u2:
u1=integral(-sin x),dx=cos x,
u2=integral e^-xsin x,dx
Para u2 usamos a fórmula
integral e^axsin(bx),dx=e^axa^2+b^2(asin(bx)-bcos(bx)),