Resolva cada equação diferencial pelo método da variação de parâmetros.
y^prime prime-3 y^prime+2 y=e^x sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y''-3y'+2y=e^xsin x
usando o método da variação de parâmetros. Vamos precisar achar primeiro a solução geral da homogênea, depois calcular o Wronskiano e aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea. A equação característica é
r^2-3r+2=0
que tem raízes r=1 e r=2. Logo a solução geral da homogênea é
yh=C1e^x+C2e^2x

Passo 3

Agora calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais y1=e^x e y2=e^2x. Temos
$$y_1’=e^x,
\quad y_2’=2e^{2x},$$
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y1'=e^x, y2'=2e^2x,

Passo 4

Definimos f(x)=e^xsin x e usamos as fórmulas
$$u_1’=-\frac{y_2,f}{W},
\quad u_2’=\frac{y_1,f}{W}.$$
Substituindo:
u1'=-y2,fW, u2'=y1,fW
u1'=-e^2xcdot e^xsin xe^3x=-sin x,

Passo 5

Integramos as derivadas de u1 e u2:
u1=integral(-sin x),dx=cos x,
u2=integral e^-xsin x,dx
Para u2 usamos a fórmula
integral e^axsin(bx),dx=e^axa^2+b^2(asin(bx)-bcos(bx)),
com a=-1, b=1, obtendo
u2=-12e^-x(sin x+cos x)

Passo 6

Montamos então a solução particular
yp=u1y1+u2y2 =cos x,e^x-tfrac12e^-x(sin x+cos x),e^2x =e^xcos x-tfrac12e^x(sin x+cos x) =tfrac12e^x(cos x-sin x)

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1e^x+C2e^2x+tfrac12e^x(cos x-sin x)

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