Uma equação diferencial de primeira ordem
é chamada de homogênea quando a função
satisfaz a condição
para todo
; essas equações sempre podem ser reescritas na forma
ou
. Logo, basta fazer a mudança de variável
na penúltima (e
na última) para transformar a EDO homogênea em uma EDO separável. Use essas informações para resolver as seguintes equações:
©
.
©
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a EDO de primeira ordem
com condição inicial
. Como
satisfaz
, a equação é homogênea e podemos usar a mudança de variável
.
Passo 2
Expressão de
e da RHS em função de
: com
, temos
.
Além disso,
Substituindo, a equação fica
Além disso,
Substituindo, a equação fica
Passo 3
Isolando
: subtraindo
dos dois lados,
logo
Isso mostra que a equação é separável.
logo
Isso mostra que a equação é separável.
Passo 4
Separação de variáveis e integração:
.
Integrando, obtemos
Integrando, obtemos
Passo 5
Retornando à variável
: como
, temos
logo
logo
Passo 6
Aplicando a condição inicial
:
então .
então
Passo 7
Solução geral e escolha de ramo: temos
,
portanto
Como , escolhemos o sinal negativo.
portanto
Como