Uma equação diferencial de primeira ordem y^prime=f(x, y) é chamada de homogênea quando a função f satisfaz a condição f(t x, t y)=f(x, y) para todo t; essas equações sempre podem ser reescritas na forma y^prime=g(y / x) ou y^prime=h(x / y). Logo, basta fazer a mudança de variável u=y / x na penúltima (e u=x / y na última) para transformar a EDO homogênea em uma EDO separável. Use essas informações para resolver as seguintes equações:
© y^prime=x^2+y^2x y, y(1)=-2.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO de primeira ordem y'=x^2+y^2xy com condição inicial y(1)=-2. Como f(x,y)=x^2+y^2xy satisfaz f(tx,ty)=f(x,y), a equação é homogênea e podemos usar a mudança de variável u=y/x.

Passo 2

Expressão de y' e da RHS em função de u: com y=ux, temos
y'=u + xdudx.
Além disso,
x^2+y^2xy=x^2+u^2x^2u x^2=1+u^2u
Substituindo, a equação fica
u + xdudx=1+u^2u

Passo 3

Isolando du/dx: subtraindo u dos dois lados,
xdudx=1+u^2u-u=1u,
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dudx=1u x
Isso mostra que a equação é separável.

Passo 4

Separação de variáveis e integração:
integral u,du=integral dxx.
Integrando, obtemos
u^22=ln|x|+C

Passo 5

Retornando à variável y: como u=y/x, temos
y^2x^2=2ln|x|+C',
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y^2=x^2l(2ln|x|+C'r)

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(1)=-2:
4=y^2(1)=1^2l(2ln1+C'r)=C',
então C'=4.

Passo 7

Solução geral e escolha de ramo: temos
y^2=x^2(2ln|x|+4),
portanto
y=pm xraiz2ln|x|+4
Como y(1)=-2, escolhemos o sinal negativo.

Resposta

y(x)=-xraiz2ln|x|+4

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