Determine os valores de a e b para que a função f seja contínua em x=1 :
f(x)= \begin{cases}a x+b, & x>1 \\\\ 3, & x=1 \\\ a x^{2}-b x+2, & x<1\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} a x+b, & x>1,\\\\ 3, & x=1,\\\ a x^{2}-b x+2, & x<1, \end{cases}
e pede que ela seja contínua em x=1. Para garantir continuidade em x=1, precisamos que
  1. \displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=f(1) e
  2. \displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1).

Passo 2

Calculamos o limite pela esquerda:
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}\bigl(a x^{2}-b x+2\bigr) =a\cdot1^{2}-b\cdot1+2 =a - b + 2.
Como f(1)=3, exigimos
a - b + 2 = 3.

Passo 3

Calculamos o limite pela direita:
\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{x\to1^+}(a x + b) =a\cdot1 + b =a + b.
Novamente, para continuidade, deve valer
a + b = 3.

Passo 4

Resolvemos o sistema
\begin{cases} a - b = 1,\\\ a + b = 3. \end{cases}
Somando as duas equações fica 2a=4, logo a=2. Substituindo em a+b=3 2+b=3, então b=1.

Resposta

a=2 e b=1.

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