Em um laboratório de motores, utiliza-se um manômetro em U para estimar a densidade de um óleo desconhecido. No ramo esquerdo está o óleo, e no ramo direito está água (densidade \rho_{\text {água }}=998 \mathrm{~kg} / m^{3}á ). Em equilíbrio, medem-se as alturas verticais acima da interface óleo-água:
  • Altura da coluna de óleo162 mm
  • Altura da coluna de água: 149 mm
Despreze efeitos capilares. Qual é a densidade do óleo?

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a densidade do óleo presente no ramo esquerdo de um manômetro em U, dado que no ramo direito há água com densidade conhecida. Informações fornecidas:
\rho_{\text{água}} = 998\\ \mathrm{kg/m^3}á
\text{altura da coluna de óleo (vertical acima da interface)} = 162\\ \text{mm}ó
\text{altura da coluna de água (vertical acima da interface)} = 149\\ \text{mm}á
Pergunta: qual é a densidade do óleo \rho_{\text{óleo}}ó?

Passo 2

Conceito físico importante (aula rápida): em fluidostática, a pressão a uma certa profundidade em um fluido homogêneo é dada por
p = p_0 + \rho g h,
onde:
  • p é a pressão no ponto considerado;
  • p_0 é a pressão na superfície (por exemplo, pressão atmosférica);
  • \rho é a densidade do fluido;
  • g é a aceleração da gravidade ( \approx 9,81\\ \mathrm{m/s^2});
  • h é a profundidade vertical (altura da coluna de fluido acima do ponto).
Aqui, o ponto de comparação é a interface óleo-água: a pressão naquele ponto, calculada a partir do topo livre de cada ramo, deve ser a mesma pelos dois lados (o sistema está em equilíbrio).

Passo 3

Aplicando o princípio da igualdade de pressões na interface (pressão que vem do topo de cada coluna até a interface):
p_{\text{atm}} + \rho_{\text{óleo}} g h_{\text{óleo}} = p_{\text{atm}} + \rho_{\text{água}} g h_{\text{água}}.óóáá
Cancelamos p_{\text{atm}} dos dois lados, porque é a mesma pressão externa, e também observamos que g é o mesmo nos dois lados; dividindo por g (ou apenas cancelando) obtemos:
\rho_{\text{óleo}}\, h_{\text{óleo}} = \rho_{\text{água}}\, h_{\text{água}}.óóáá
Isolando \rho_{\text{óleo}}ó:
\rho_{\text{óleo}} = \rho_{\text{água}} \cdot \frac{h_{\text{água}}}{h_{\text{óleo}}}.óááó
Observação prática: as unidades de altura podem ser quaisquer (mm, m) porque a razão h_{\text{água}}/h_{\text{óleo}}áó é adimensional — desde que usemos a mesma unidade para ambas.

Passo 4

Vamos substituir os dados. Primeiro converto milímetros para metros (opcional, mas bom para ficar em SI):
h_{\text{óleo}} = 162\\ \text{mm} = 0,162\\ \text{m},ó
h_{\text{água}} = 149\\ \text{mm} = 0,149\\ \text{m}.á
Agora a razão:
\frac{h_{\text{água}}}{h_{\text{óleo}}} = \frac{0,149}{0,162} \approx 0,919753\ldotsáó
Multiplicando pela densidade da água:
\rho_{\text{óleo}} = 998\\ \mathrm{kg/m^3} \times 0,919753\ldots \approx 917,9136\\ \mathrm{kg/m^3}.ó

Passo 5

Arredondando para uma apresentação prática (três algarismos significativos) e lembrando que medidas experimentais têm incerteza, tomamos
\rho_{\text{óleo}} \approx 918\\ \mathrm{kg/m^3}.ó
Você fez direitinho — a ideia central é sempre igualar pressões na mesma profundidade e notar que p_{\text{atm}} e g se cancelam.

Resposta

\rho_{\text{óleo}} = 918\\ \mathrm{kg/m^3}ó

Exercícios relacionados