(6 pontos) Esboce e calcule a área delimitada pelas seguintes curvas:
y=x^{2}-4 x, y=0 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce e calcule a área da região limitada pelas curvas
y = x^2 - 4x,\quad y = 0,\quad x = 2.
O conteúdo envolvido é cálculo de área por integração de funções no plano e esboço de gráficos de parábolas.

Passo 2

Para entender o formato da região, achamos as interseções da parábola com o eixo x e seu vértice:
x^2 - 4x = 0 \\ \Longrightarrow\\ x(x - 4)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }x=4.
O vértice fica em
x_v = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{2}=2, \quad y_v = 2^2 - 4\cdot2 = -4.

Passo 3

Esboço do gráfico e região:
Trace o eixo x e o eixo y. A parábola y=x^2-4x cruza o eixo x em (0,0) e (4,0) e tem vértice em (2,-4). A reta vertical x=2 marca a fronteira direita. A reta y=0 (eixo x) marca o limite superior. A região fechada está entre x=0 (onde a parábola cruza o eixo), a reta x=2, o eixo y=0 acima e a parábola abaixo.

Passo 4

No intervalo de integração 0\le x\le 2, a curva de cima é y_{\text{top}}=0 e a de baixo é y_{\text{bot}}=x^2-4x (pois x^2-4x\le0). Assim a área é
A = \int_{0}^{2}\bigl(y_{\text{top}} - y_{\text{bot}}\bigr)\,dx = \int_{0}^{2}\bigl(0 - (x^2-4x)\bigr)\,dx = \int_{0}^{2}(4x - x^2)\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int_{0}^{2}(4x - x^2)\,dx = \int_{0}^{2}4x\,dx \;-\;\int_{0}^{2}x^2\,dx = \Bigl[2x^2\Bigr]_{0}^{2}\;-\;\Bigl[\tfrac{1}{3}x^3\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(2\cdot4\bigr)\;-\;\tfrac{1}{3}\cdot8 = 8 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{16}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{3}

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