Sabendo que uma EDO é separável, ou seja, que
d yd x=f(x)g(y)
mostre por que a expressão
integral g(y) d y=integral f(x) d x+c

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dydx = f(x)g(y),
que é do tipo separável. Isso significa que podemos manipular os diferenciais de modo a ter todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro.

Passo 2

Multiplicamos os dois lados por g(y) e por dx, obtendo
g(y),dydx,dx = f(x),dx Longrightarrow g(y),dy = f(x),dx
Aqui usamos que dx é um diferencial não nulo e que g(y)neq0 no intervalo considerado, permitindo a separação.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados de forma indefinida em relação às suas variáveis:
integral g(y),dy = integral f(x),dx + C,
onde C é a constante de integração, inserida numa só das integrais mas que pode ser levada para o outro lado sem perda de generalidade.

Resposta

integral g(y),dy = integral f(x),dx + C

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