Sabendo que a elipse tem focos e e excentricidade , determine e .
Passo 1
Beleza, a gente tem a equação de uma elipse e sabemos onde estão os focos e , além da excentricidade . Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a forma padrão da elipse, propriedades dos focos e a definição de excentricidade para encontrar os valores de , , e .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. Sabemos que o centro está no meio dos focos. Então, a coordenada do centro é a média das coordenadas dos focos:
A coordenada do centro é igual a porque ambos os focos têm . Então, o centro é .
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre o centro e um dos focos, que é chamada de . Usamos a diferença entre as coordenadas dos focos:
Passo 4
A excentricidade está relacionada a e ao semi-eixo maior pela fórmula . Sabemos que , então podemos encontrar :
Passo 5
Com encontrado, podemos calcular o semi-eixo menor usando a relação :
Passo 6
Agora temos h = 1, k = 2, a = 3 e b = 2. A forma padrão da equação da elipse é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo os valores:
(x - 1)^29 + (y - 2)^24 = 1
Passo 7
Vamos expandir essa equação para colocá-la na forma geral 4x^2 + m y^2 + n x + p y + q = 0: