Sabendo que a elipse 4 x^2+m y^2+n x+p y+q=0 tem focos F1=(1-raiz5, 2) e F2=(1+raiz5, 2) e excentricidade e=raiz53, determine m, n, p e q.

Passo 1

Beleza, a gente tem a equação de uma elipse 4x^2 + m y^2 + n x + p y + q = 0 e sabemos onde estão os focos F1 = (1 - raiz5, 2) e F2 = (1 + raiz5, 2), além da excentricidade e = raiz53. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a forma padrão da elipse, propriedades dos focos e a definição de excentricidade para encontrar os valores de m, n, p e q.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. Sabemos que o centro está no meio dos focos. Então, a coordenada x do centro é a média das coordenadas x dos focos:
h = (1 - raiz5) + (1 + raiz5)2 = 22 = 1
A coordenada y do centro é igual a 2 porque ambos os focos têm y = 2. Então, o centro é (h, k) = (1, 2).

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre o centro e um dos focos, que é chamada de c. Usamos a diferença entre as coordenadas x dos focos:
c = raiz5

Passo 4

A excentricidade e está relacionada a c e ao semi-eixo maior a pela fórmula e = ca. Sabemos que e = raiz53, então podemos encontrar a:
raiz53 = raiz5a implies a = 3

Passo 5

Com a encontrado, podemos calcular o semi-eixo menor b usando a relação b = a raiz1 - e^2:
b = 3 raiz1 - (raiz53)^2 = 3 raiz1 - 59 = 3 raiz49 = 3 times 23 = 2

Passo 6

Agora temos h = 1, k = 2, a = 3 e b = 2. A forma padrão da equação da elipse é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo os valores:
(x - 1)^29 + (y - 2)^24 = 1

Passo 7

Vamos expandir essa equação para colocá-la na forma geral 4x^2 + m y^2 + n x + p y + q = 0:
(x - 1)^29 + (y - 2)^24 = 1 implies x^2 - 2x + 19 + y^2 - 4y + 44 = 1
Multiplicando todos os termos por 36 (mínimo múltiplo comum de 9 e 4):
4(x^2 - 2x + 1) + 9(y^2 - 4y + 4) = 36
4x^2 - 8x + 4 + 9y^2 - 36y + 36 = 36
4x^2 + 9y^2 - 8x - 36y + 40 = 36
4x^2 + 9y^2 - 8x - 36y + 4 = 0

Resposta

Os valores são m = 9, n = -8, p = -36 e q = 4.

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