A área de um triângulo A B C é igual a raiz6. Sabe-se que A(2,0,1), B(-1,2,1) e que o vértice C pertence ao eixo OY . Determine as coordenadas de C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá três pontos no espaço: A(2,0,1), B(-1,2,1) e C, que está no eixo OY. A área do triângulo formado por esses pontos é raiz6. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e cálculo de áreas de triângulos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, já que o ponto C está no eixo OY, sabemos que suas coordenadas serão da forma (0, y, 0), onde y é o que precisamos descobrir.

Passo 3

Vamos encontrar os vetores que formam o triângulo. Os vetores AB e AC são dados por:
AB = B - A = (-1-2, 2-0, 1-1) = (-3, 2, 0)
AC = C - A = (0-2, y-0, 0-1) = (-2, y, -1)

Passo 4

A área de um triângulo no espaço pode ser calculada usando o produto vetorial dos vetores AB e AC. A fórmula é:
Área = 12 | AB times AC | Á
Vamos calcular o produto vetorial AB times AC:
AB times AC = i & j & k -3 & 2 & 0 -2 & y & -1 = i(2 cdot (-1) - 0 cdot y) - j(-3 cdot (-1) - 0 cdot (-2)) + k(-3 cdot y - 2 cdot (-2))
= i(-2) - j(3) + k(-3y + 4)
= (-2, -3, -3y + 4)

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
| AB times AC | = raiz(-2)^2 + (-3)^2 + (-3y + 4)^2 = raiz4 + 9 + (9y^2 - 24y + 16) = raiz9y^2 - 24y + 29

Passo 6

Sabemos que a área do triângulo é raiz6, então:
12 raiz9y^2 - 24y + 29 = raiz6
Multiplicando ambos os lados por 2:
raiz9y^2 - 24y + 29 = 2raiz6
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
9y^2 - 24y + 29 = 4 cdot 6 = 24

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
9y^2 - 24y + 29 - 24 = 0 Rightarrow 9y^2 - 24y + 5 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
y = 24 pm raiz(-24)^2 - 4 cdot 9 cdot 52 cdot 9 = 24 pm raiz576 - 18018 = 24 pm raiz39618
Simplificando a raiz:
raiz396 = raiz4 cdot 99 = 2raiz99 = 2raiz9 cdot 11 = 2 cdot 3 raiz11 = 6raiz11
Então:
y = 24 pm 6raiz1118 = 12 pm 3raiz119 = 4 pm raiz113

Resposta

As coordenadas de C são (0,, dfrac4 + raiz113,, 0) ou (0,, dfrac4 - raiz113,, 0).

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