área de um triângulo é igual a . Sabe-se que e que o vértice pertence ao eixo OY . Determine as coordenadas de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá três pontos no espaço: , e , que está no eixo OY. A área do triângulo formado por esses pontos é . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e cálculo de áreas de triângulos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, já que o ponto está no eixo OY, sabemos que suas coordenadas serão da forma , onde é o que precisamos descobrir.
Passo 3
Vamos encontrar os vetores que formam o triângulo. Os vetores e são dados por:
Passo 4
A área de um triângulo no espaço pode ser calculada usando o produto vetorial dos vetores e . A fórmula é:
Vamos calcular o produto vetorial :
= i(-2) - j(3) + k(-3y + 4)
= (-2, -3, -3y + 4)
Passo 5
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
| AB times AC | = raiz(-2)^2 + (-3)^2 + (-3y + 4)^2 = raiz4 + 9 + (9y^2 - 24y + 16) = raiz9y^2 - 24y + 29
Passo 6
Sabemos que a área do triângulo é raiz6, então:
12 raiz9y^2 - 24y + 29 = raiz6
Multiplicando ambos os lados por 2:
raiz9y^2 - 24y + 29 = 2raiz6
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz: