Determinar os valores de para que os vetores e ( ) sejam coplanares.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os valores de para que os vetores , e sejam coplanares. Isso significa que esses três vetores estão no mesmo plano.
Para verificar se três vetores são coplanares, usamos o conceito do produto misto ou determinante. Se o determinante da matriz formada por esses vetores for igual a zero, então os vetores são coplanares.
Passo 2
Vamos montar a matriz com os vetores , e como colunas:
Nosso objetivo é calcular o determinante dessa matriz e igualá-lo a zero.
Passo 3
Calculando o determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos expandir pelo primeiro elemento da primeira linha:
Det = 3 cdot 2 & x -3 & 1 - (-x) cdot 3 & x 1 & 1 + 2 cdot 3 & 2 1 & -3
Calculando cada menor:
2 & x -3 & 1 = (2)(1) - (x)(-3) = 2 + 3x
3 & x 1 & 1 = (3)(1) - (x)(1) = 3 - x
3 & 2 1 & -3 = (3)(-3) - (2)(1) = -9 - 2 = -11
Passo 4
Substituindo os valores calculados no determinante:
Det = 3(2 + 3x) - (-x)(3 - x) + 2(-11)
Simplificando:
Det = 6 + 9x + x(3 - x) - 22
Distribuindo x :
Det = 6 + 9x + 3x - x^2 - 22
Somando os termos semelhantes:
Det = -x^2 + 12x - 16
Passo 5
Para que os vetores sejam coplanares, o determinante deve ser igual a zero:
-x^2 + 12x - 16 = 0
Multiplicando a equação por -1 para facilitar:
x^2 - 12x + 16 = 0
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática x^2 - 12x + 16 = 0 usando a fórmula de Bhaskara: