Determinar os valores de x para que os vetores a=(3,-x, 2), b=(3,2, x) e c= ( 1,-3,1 ) sejam coplanares.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os valores de x para que os vetores a = (3, -x, 2), b = (3, 2, x) e c = (1, -3, 1) sejam coplanares. Isso significa que esses três vetores estão no mesmo plano.
Para verificar se três vetores são coplanares, usamos o conceito do produto misto ou determinante. Se o determinante da matriz formada por esses vetores for igual a zero, então os vetores são coplanares.

Passo 2

Vamos montar a matriz com os vetores a, b e c como colunas:
3 & -x & 2 3 & 2 & x 1 & -3 & 1
Nosso objetivo é calcular o determinante dessa matriz e igualá-lo a zero.

Passo 3

Calculando o determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos expandir pelo primeiro elemento da primeira linha:
Det = 3 cdot 2 & x -3 & 1 - (-x) cdot 3 & x 1 & 1 + 2 cdot 3 & 2 1 & -3
Calculando cada menor:
2 & x -3 & 1 = (2)(1) - (x)(-3) = 2 + 3x
3 & x 1 & 1 = (3)(1) - (x)(1) = 3 - x
3 & 2 1 & -3 = (3)(-3) - (2)(1) = -9 - 2 = -11

Passo 4

Substituindo os valores calculados no determinante:
Det = 3(2 + 3x) - (-x)(3 - x) + 2(-11)
Simplificando:
Det = 6 + 9x + x(3 - x) - 22
Distribuindo x :
Det = 6 + 9x + 3x - x^2 - 22
Somando os termos semelhantes:
Det = -x^2 + 12x - 16

Passo 5

Para que os vetores sejam coplanares, o determinante deve ser igual a zero:
-x^2 + 12x - 16 = 0
Multiplicando a equação por -1 para facilitar:
x^2 - 12x + 16 = 0

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática x^2 - 12x + 16 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
x = 12 pm raiz(-12)^2 - 4 cdot 1 cdot 162 cdot 1 = 12 pm raiz144 - 642 = 12 pm raiz802
Simplificando a raiz quadrada:
raiz80 = raiz16 cdot 5 = 4raiz5
Portanto:
x = 12 pm 4raiz52 = 6 pm 2raiz5

Resposta

Os valores de x que tornam os vetores coplanares são:
x = 6 + 2raiz5 e x = 6 - 2raiz5

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