Quais são as propriedades dos vetores \vec{a} e \vec{b} tais que:
\quad \vec{a}+\vec{b}=\vec{c} e a^{2}+b^{2}=c^{2}

Passo 1

O enunciado dá duas condições sobre os vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c}:
  1. \vec{a} + \vec{b} = \vec{c}.
  2. a^{2} + b^{2} = c^{2}, onde a = \|\vec{a}\|, b = \|\vec{b}\| e c = \|\vec{c}\|.
    O que precisamos é relacionar essas duas informações para descobrir que tipo de relação existe entre \vec{a} e \vec{b}.

Passo 2

Vamos usar a identidade da norma de soma de vetores, que diz:
\|\vec{a} + \vec{b}\|^{2} = \|\vec{a}\|^{2} + \|\vec{b}\|^{2} + 2\,\vec{a}\cdot\vec{b}.
Como \vec{a} + \vec{b} = \vec{c}, temos \|\vec{a} + \vec{b}\|^{2} = \|\vec{c}\|^{2} = c^{2}. Substituindo na fórmula:
c^{2} = a^{2} + b^{2} + 2\,\vec{a}\cdot\vec{b}.

Passo 3

Mas o enunciado também diz que a^{2} + b^{2} = c^{2}. Logo, comparando com a identidade acima:
a^{2} + b^{2} = a^{2} + b^{2} + 2\,\vec{a}\cdot\vec{b} \quad\Longrightarrow\quad 2\,\vec{a}\cdot\vec{b} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \vec{a}\cdot\vec{b} = 0.
Isto significa que \vec{a} e \vec{b} são perpendiculares (ortogonais).

Resposta

Os vetores \vec{a} e \vec{b} são ortogonais, ou seja,
\vec{a}\cdot\vec{b} = 0.

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