Sabendo que a equação fundamental do fluido de van der Waals na representação da entropia é dada por
(a) obtenha as equações de estado correspondentes. (b) Verifique a validade da equação de Euler (neste caso específico). (c) Identifique uma relação de Maxwell pertinente a este sistema, e verifique a sua validade (por inspecção). Explique.
Passo 1
O enunciado fornece a relação fundamental na representação entrópica para o fluido de van der Waals
O conteúdo é termodinâmica matemática: usamos
depois verificamos a validade da equação de Euler e adotamos uma relação de Maxwell típica de uma função de estado entálpica.
Passo 2
Derivando em relação a
(com
fixos), só o primeiro log depende de
:
Logo
Passo 3
Derivando em
(com
constantes), temos dois termos: do primeiro log e do segundo log. O resultado é
Usando
da equação anterior, simplifica-se a
que é a forma usual de van der Waals.
Passo 4
Para obter
usamos
Uma forma prática é usar a equação de Euler (ver passo seguinte) e escrever
substituindo
. O resultado é, em termos de
e
,
Passo 5
Equação de Euler para funções extesivas
de grau 1 diz
Basta substituir
e
e verificar que a igualdade se satisfaz identicamente, confirmando a validade da equação de Euler neste caso.
Passo 6
Uma relação de Maxwell típica advém da igualdade dos segundos diferenciais mistos em
Por exemplo
Calculando cada lado com as expressões do Passo 2 e do Passo 3 vê-se que ambos são iguais a
verificando por inspeção a validade da relação de Maxwell.
Resposta
(a)
(b) A equação de Euler
é satisfeita identicamente.
(c) Uma Maxwell pertinente é
(c) Uma Maxwell pertinente é
e checa-se por inspeção que ambos os lados coincidem.