(a) Encontre a equação fundamental de um sistema que obedece as equações de estado
T=\frac{3 A s^{2}}{v} \quad e \quad p=\frac{A s^{3}}{v^{2}},
onde A é uma constante. (b) Obtenha a equação de estado que está faltando. (c) Escreva a equação fundamental na representação do potencial de Helmholtz. Explique.

Passo 1

O enunciado dá duas equações de estado para um sistema com variáveis termodinâmicas S (entropia) e V (volume), e uma constante A:
T = \frac{3A\,S^{2}}{V}, \qquad p = \frac{A\,S^{3}}{V^{2}}.
Pede-se:
a) achar a equação fundamental na representação energia interna U(S,V) sabendo que
T = \left.\frac{\partial U}{\partial S}\right|_{V}, \quad p = -\left.\frac{\partial U}{\partial V}\right|_{S};
b) achar a equação de estado que falta, i.e.\ uma relação entre T,p,S,V;
c) escrever a equação fundamental na representação do potencial de Helmholtz F=F(T,V), explicando o procedimento (Legendre–transformação).

Passo 2

Para obter U(S,V) integramos
\frac{\partial U}{\partial S}\Big|_{V} \;=\; T \;=\;\frac{3A\,S^{2}}{V}
em relação a S, mantendo V fixo. Isso dá
U(S,V) \;=\;\int \frac{3A\,S^{2}}{V}\,dS \;=\;\frac{A\,S^{3}}{V} \;+\; f(V),
onde f(V) é função de integração a determinar.

Passo 3

Agora usamos
-\frac{\partial U}{\partial V}\Big|_{S} \;=\; p \;=\;\frac{A\,S^{3}}{V^{2}}.
Do que calculamos
\frac{\partial U}{\partial V}\Big|_{S} =\frac{\partial}{\partial V}\Bigl(\frac{A\,S^{3}}{V}+f(V)\Bigr) =-\frac{A\,S^{3}}{V^{2}}+f'(V).
Portanto
-\,\Bigl(-\frac{A\,S^{3}}{V^{2}}+f'(V)\Bigr) =\frac{A\,S^{3}}{V^{2}} \quad\Longrightarrow\quad f'(V)=0 \;\Longrightarrow\;f(V)=\text{const.}
Podemos tomar essa constante igual a zero, pois ela só desloca \,U por uma constante. Logo
\boxed{U(S,V)=\frac{A\,S^{3}}{V}.}

Passo 4

Para achar a relação que falta entre T,p,S,V, podemos eliminar A ou S. Por exemplo, da expressão de T temos
S^{2}=\frac{T\,V}{3A} \quad\Longrightarrow\quad S^{3}=S\cdot S^{2}=S\;\frac{T\,V}{3A}.
Substituindo em p=\tfrac{A\,S^{3}}{V^{2}} resulta
p = \frac{A}{V^{2}} \;S\;\frac{T\,V}{3A} = \frac{S\,T}{3\,V}.
Portanto a equação de estado que faltava é
\boxed{p=\frac{S\,T}{3\,V}}.

Passo 5

Para passar à representação do potencial de Helmholtz F(T,V) fazemos a Legendre–transformação
F(T,V)=U(S,V)-T\,S,
onde S deve ser expresso em função de (T,V). Da equação
T=\frac{3A\,S^{2}}{V} \quad\Longrightarrow\quad S = \sqrt{\frac{T\,V}{3A}}.
Logo
U = \frac{A\,S^{3}}{V} = \frac{A}{V}\Bigl(\frac{T\,V}{3A}\Bigr)^{3/2} =\frac{A^{-1/2}}{3^{3/2}}\,T^{3/2}\,V^{1/2},
e
T\,S = T\;\sqrt{\frac{T\,V}{3A}} =\frac{T^{3/2}\,V^{1/2}}{\sqrt{3A}}.
Subtraindo, obtemos
F(T,V) =\frac{A^{-1/2}}{3^{3/2}}\,T^{3/2}\,V^{1/2} \;-\; \frac{T^{3/2}\,V^{1/2}}{\sqrt{3A}} =-\frac{2}{3\sqrt{3A}}\;T^{3/2}\,V^{1/2}.
Essa é a equação fundamental na representação de Helmholtz, que mostra como F depende de (T,V) após Legendre–transformar a variável extensiva S.

Resposta

(a) U(S,V)=\dfrac{A\,S^{3}}{V}.
(b) p=\dfrac{S\,T}{3\,V}.
(c)
F(T,V)=U-TS =-\frac{2}{3\sqrt{3A}}\;T^{3/2}\,V^{1/2},
obtido via Legendre–transformação F=U-TS e eliminando S em favor de (T,V).

Exercícios relacionados