(a) Encontre a equação fundamental de um sistema que obedece as equações de estado
T=\frac{3 A s^{2}}{v} \quad e \quad p=\frac{A s^{3}}{v^{2}},
onde A é uma constante. (b) Obtenha a equação de estado que está faltando. (c) Escreva a equação fundamental na representação do potencial de Helmholtz. Explique.
Passo 1
O enunciado dá duas equações de estado para um sistema com variáveis termodinâmicas S (entropia) e V (volume), e uma constante A:
T = \frac{3A\,S^{2}}{V}, \qquad p = \frac{A\,S^{3}}{V^{2}}.
Pede-se:
a) achar a equação fundamental na representação energia interna U(S,V) sabendo que
T = \left.\frac{\partial U}{\partial S}\right|_{V}, \quad p = -\left.\frac{\partial U}{\partial V}\right|_{S};
b) achar a equação de estado que falta, i.e.\ uma relação entre T,p,S,V;
c) escrever a equação fundamental na representação do potencial de Helmholtz F=F(T,V), explicando o procedimento (Legendre–transformação).
Passo 2
Para obter U(S,V) integramos
\frac{\partial U}{\partial S}\Big|_{V} \;=\; T \;=\;\frac{3A\,S^{2}}{V}