Considere uma caminhada aleatória binomial, em que a largura dos passos é fixa, podendo ser para a direita ou para a esquerda. (a) Expresse a distribuição de probabilidade
de cada passo em termos de distribuições delta de Dirac. Utilizando as propriedades da delta de Dirac, calcule (b) o deslocamento médio
depois de
passos, (c) o desvio padrão
da distribuição
, e (d) verifique a condição de normalização. (e) Qual é a relação entre a distribuição de probabilidade
e a distribuição binomial? Explique.
Passo 1
O enunciado trata de uma caminhada aleatória binomial em que cada passo tem comprimento fixo
e pode ser para a direita com probabilidade
ou para a esquerda com probabilidade
. Vamos usar a representação em deltas de Dirac para a distribuição de cada passo, e então calcular (b) o deslocamento médio após
passos, (c) o desvio padrão da distribuição do deslocamento, (d) verificar a normalização e (e) relacionar a distribuição final com a binomial.
Passo 2
Cada passo
só pode valer
(direita) ou
(esquerda). Em termos de deltas de Dirac,
Passo 3
O deslocamento médio de um passo é
Como os passos são independentes, o deslocamento médio após
passos é
Passo 4
Para o desvio padrão usamos a variância de um passo,
e
Como são
passos independentes,
Passo 5
A normalização de
é
A distribuição do deslocamento total
é dada pela
-ésima convolução de
e resulta em
cuja soma das probabilidades
garante
.
Passo 6
A relação com a distribuição binomial é direta: se
é o número de passos para a direita, então o deslocamento é
, e
Portanto, a distribuição de
é a binomial “mapeada” em posições igualmente espaçadas de tamanho
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Verifica-se que e
.
(e) corresponde à distribuição binomial em
, com
e
(b)
(c)
(d) Verifica-se que
(e)