Considere uma caminhada aleatória binomial, em que a largura dos passos é fixa, podendo ser para a direita ou para a esquerda. (a) Expresse a distribuição de probabilidade \omega(s) de cada passo em termos de distribuições delta de Dirac. Utilizando as propriedades da delta de Dirac, calcule (b) o deslocamento médio \bar{x} depois de N passos, (c) o desvio padrão \sigma_{x} da distribuição \mathcal{P}(x), e (d) verifique a condição de normalização. (e) Qual é a relação entre a distribuição de probabilidade \mathcal{P}(x) e a distribuição binomial? Explique.

Passo 1

O enunciado trata de uma caminhada aleatória binomial em que cada passo tem comprimento fixo a e pode ser para a direita com probabilidade p ou para a esquerda com probabilidade q=1-p. Vamos usar a representação em deltas de Dirac para a distribuição de cada passo, e então calcular (b) o deslocamento médio após N passos, (c) o desvio padrão da distribuição do deslocamento, (d) verificar a normalização e (e) relacionar a distribuição final com a binomial.

Passo 2

Cada passo s só pode valer +a (direita) ou -a (esquerda). Em termos de deltas de Dirac,
\omega(s) \;=\; p\,\delta(s - a)\;+\;q\,\delta(s + a).

Passo 3

O deslocamento médio de um passo é
\langle s\rangle \;=\;\int_{-\infty}^{\infty} s\,\omega(s)\,\mathrm{d}s \;=\;p\,a \;+\;q\,(-a) \;=\;a\,(p-q).
Como os passos são independentes, o deslocamento médio após N passos é
\bar x \;=\;N\,\langle s\rangle \;=\;N\,a\,(p-q).

Passo 4

Para o desvio padrão usamos a variância de um passo,
\langle s^2\rangle = \int s^2\,\omega(s)\,\mathrm{d}s = p\,a^2 + q\,a^2 = a^2,
e
\mathrm{Var}(s)=\langle s^2\rangle -\langle s\rangle^2 = a^2 - a^2(p-q)^2 =4\,a^2\,p\,q.
Como são N passos independentes,
\sigma_x = \sqrt{N\,\mathrm{Var}(s)} =2\,a\,\sqrt{N\,p\,q}.

Passo 5

A normalização de \omega(s) é
\int_{-\infty}^{\infty}\omega(s)\,\mathrm{d}s = p+q =1.
A distribuição do deslocamento total x é dada pela N-ésima convolução de \omega e resulta em
\mathcal{P}(x) =\sum_{k=0}^{N}\binom{N}{k}p^{\,k}q^{\,N-k} \,\delta\bigl(x - a(2k-N)\bigr),
cuja soma das probabilidades \sum_k\binom{N}{k}p^kq^{N-k}=1 garante \int\mathcal{P}(x)\,\mathrm{d}x=1.

Passo 6

A relação com a distribuição binomial é direta: se k é o número de passos para a direita, então o deslocamento é x = a\,(k - (N-k)) = a(2k-N), e
\mathcal{P}(x) =\Pr(k)\quad\text{com}\quad \Pr(k)=\binom{N}{k}p^{\,k}q^{\,N-k}.
Portanto, a distribuição de x é a binomial “mapeada” em posições igualmente espaçadas de tamanho 2a.

Resposta

(a) \displaystyle \omega(s)=p\,\delta(s-a)+q\,\delta(s+a).
(b) \displaystyle \bar x=N\,a\,(p-q).
(c) \displaystyle \sigma_x=2\,a\,\sqrt{N\,p\,q}.
(d) Verifica-se que \int\omega(s)\,\mathrm{d}s=1 e \int\mathcal{P}(x)\,\mathrm{d}x=1.
(e) \mathcal{P}(x) corresponde à distribuição binomial em k, com x=a(2k-N) e \displaystyle \Pr(k)=\binom{N}{k}p^kq^{N-k}.

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