Determine a equação da reta tangente à curva y=3^cos (2 x), no ponto em que y=1, com 0 <= x <= pi / 2.

Passo 1

Estamos com a função
y = 3^cos(2x)
e queremos a reta tangente no ponto em que y=1, com 0 <= x <= pi/2. Para isso precisamos (i) achar o valor de x em que 3^cos(2x)=1, (ii) calcular a derivada y'(x) e avaliá-la nesse x, e (iii) usar a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Para ter y=1 basta resolver
3^cos(2x) = 1
Isso exige cos(2x)=0. Assim
2x = pi2 + kpi Longrightarrow x = pi4 + kpi2
No intervalo [0,pi/2] só cabe x = pi/4. Então o ponto de tangência é l(pi/4,1r).

Passo 3

Derivando y=3^cos(2x) usando cadeia e exponencial genérica,
y' = 3^cos(2x) ,ln(3),ddxl(cos(2x)r) =3^cos(2x),ln(3),(-2sin(2x))
Em x=pi/4 temos cos(2cdotpi/4)=0 e sin(2cdotpi/4)=1, logo
y'l(tfracpi4r) =1cdotln(3)cdot(-2cdot1) =-2ln(3)

Passo 4

Usando a forma ponto-inclinação da reta tangente em l(x0,y0r)=(pi/4,1) com coeficiente angular m=-2ln(3),
y - y0 = m,(x - x0)
fica
y - 1 = -2ln(3),l(x - tfracpi4r)

Resposta

y - 1 = -2ln(3),l(x - tfracpi4r)

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