Sabendo f(3)=2, f(2)=5 e que f é bijetora, quanto vale f(f^(f(f (f(f^(3)))))) ?

Passo 1

Vamos lá! Você tem uma função $ f $ que é bijetora, ou seja, ela é injetora (cada saída corresponde a apenas uma entrada) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de chegada). Além disso, sabemos que $ f(3) = 2 $ e $ f(2) = 5 $. A questão pede para calcular o valor de uma expressão bastante complicada envolvendo $ f $ e sua inversa $ f^{-1} $:
f
Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam funções e suas inversas, além de aplicar essas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função inversa. Para uma função bijetora $ f $, a inversa $ f^{-1} $ tem a propriedade de que:
f
Isso significa que, se você aplicar $ f $ e depois $ f^{-1} $ (ou vice-versa) em um valor, você volta ao valor original.

Passo 3

Vamos começar a resolver a expressão de dentro para fora. Primeiro, identifiquemos o que é $ f^{-1}(3) $.
Sabemos que $ f(3) = 2 $. Pela definição da função inversa:
f^-1(3)
Mas precisamos de $ f^{-1}(3) $. Isso significa que estamos procurando algum valor $ y $ tal que $ f(y) = 3 f(3) = 2 çõ f(3) = 2 $ e $ f(2) = 5 $), não temos como determinar diretamente $ f^{-1}(3) $. Por isso, vamos chamar $ f^{-1}(3) = a $, onde $ a $ é um número que $ f $ mapeia para 3:
f^-1(2) = 3

Passo 4

Agora substituímos $ f^{-1}(3) $ por $ a $ na expressão original:
f^-1(3)
Sabemos que $ f(a) = 3 $, então:
a
E sabemos que $ f^{-1}(3) = a $:
f(f^-1(f(f^-1(f(a)))))

Passo 5

Substituindo novamente, já que $ f(a) = 3 $:
f(a) = 3
E sabemos que $ f^{-1}(3) = a $:
f(f^-1(3))
E como $ f(a) = 3 $:
f^-1(3) = a

Resposta

O valor da expressão é 3.

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