Sabendo
e que
é bijetora, quanto vale
?
Passo 1
Vamos lá! Você tem uma função $ f $ que é bijetora, ou seja, ela é injetora (cada saída corresponde a apenas uma entrada) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de chegada). Além disso, sabemos que $ f(3) = 2 $ e $ f(2) = 5 $. A questão pede para calcular o valor de uma expressão bastante complicada envolvendo $ f $ e sua inversa $ f^{-1} $:
Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam funções e suas inversas, além de aplicar essas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função inversa. Para uma função bijetora $ f $, a inversa $ f^{-1} $ tem a propriedade de que:
Isso significa que, se você aplicar $ f $ e depois $ f^{-1} $ (ou vice-versa) em um valor, você volta ao valor original.
Passo 3
Vamos começar a resolver a expressão de dentro para fora. Primeiro, identifiquemos o que é $ f^{-1}(3) $.
Sabemos que $ f(3) = 2 $. Pela definição da função inversa:
Mas precisamos de $ f^{-1}(3) $. Isso significa que estamos procurando algum valor $ y $ tal que $ f(y) = 3
f(3) = 2 $ e $ f(2) = 5 $), não temos como determinar diretamente $ f^{-1}(3) $. Por isso, vamos chamar $ f^{-1}(3) = a $, onde $ a $ é um número que $ f $ mapeia para 3:
Passo 4
Agora substituímos $ f^{-1}(3) $ por $ a $ na expressão original:
Sabemos que $ f(a) = 3 $, então:
E sabemos que $ f^{-1}(3) = a $:
Passo 5
Substituindo novamente, já que $ f(a) = 3 $:
E sabemos que $ f^{-1}(3) = a $:
E como $ f(a) = 3 $:
Resposta
O valor da expressão é 3.