Suponha que f: R R seja contínua e admita máximo. É verdade que f é limitada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que é contínua e atinge um valor máximo. A pergunta é: essa função $ f $ é limitada? Isso nos leva a considerar conceitos de continuidade e funções limitadas na análise matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser “limitada”. Uma função é limitada se existe um número real que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os valores que a função pode assumir. Ou seja, $ f $ é limitada se existem números $ M $ e $ m $ tais que:
f

Passo 3

Sabemos que $ f $ é contínua e atinge um máximo. Isso significa que existe pelo menos um ponto $ c $ em $ \mathbb{R} $ onde $ f© $ é o maior valor que $ f $ atinge. Vamos chamar esse valor de $ M $, então:
f
Portanto, $ M $ atua como um limite superior para $ f $.

Passo 4

No entanto, para $ f $ ser limitada, também precisamos de um limite inferior $ m $. O fato de $ f $ atingir um máximo não garante automaticamente que existe tal $ m $. $ f $ poderia, por exemplo, tender a $ -\infty $ quando $ x $ vai para $ +\infty $ ou $ -\infty $, o que faria $ f $ não ter um limite inferior finito.

Passo 5

Então, mesmo que $ f $ seja contínua e tenha um máximo $ M $, não podemos concluir que ela é necessariamente limitada, porque não temos informação sobre o comportamento de $ f $ em relação ao limite inferior.

Resposta

Não, uma função contínua que atinge um máximo em $ \mathbb{R} $ não é necessariamente limitada.

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