Considere que, em certa indústria, o volume mensal de produção de cada operário esteja relacionado com o tempo de trabalho, através da função P(x)=96 raizx sendo x o número de horas trabalhadas e P(x) o número de unidades produzidas pelo operário naquele mês. A taxa segundo a qual a produção mensal estará crescendo em x=144, isto é, na 144 a hora de trabalho do mês, é igual a:
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a produção mensal de um operário depende das horas trabalhadas através da função $ P(x) = 96 \sqrt{x} $, onde $ x $ é o número de horas e $ P(x) $ é a quantidade de unidades produzidas. A gente precisa descobrir a taxa de crescimento dessa produção quando o operário chega às 144 horas de trabalho no mês. Para isso, vamos usar derivadas, que nos mostram como uma função está mudando em relação a uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de crescimento no contexto. Aqui, estamos querendo saber quão rápido a produção está aumentando exatamente na 144ª hora. Isso é basicamente a derivada da função $ P(x) $ em $ x = 144 $.

Passo 3

A função que nos foi dada é $ P(x) = 96 \sqrt{x} $. Para facilitar a derivação, vamos reescrever a raiz quadrada como uma potência fracionária. Assim, temos:
P(x) = 96 raizx

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada dessa função em relação a $ x $. A regra que vamos usar aqui é a regra do poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n x^{n-1} $. Aplicando isso à nossa função:
x

Passo 5

Simplificando a expressão da derivada:
P'(x) = 48raizx
Isso significa que a taxa de crescimento da produção depende inversamente da raiz quadrada das horas trabalhadas.

Passo 6

Agora, vamos substituir $ x = 144 $ na derivada para encontrar a taxa de crescimento nesse ponto específico:
x = 144

Passo 7

Calculando a raiz quadrada de 144:
raiz144 = 12
Então, substituindo de volta na expressão:
P'(144) = 4812 = 4

Resposta

A taxa de crescimento da produção mensal na 144ª hora de trabalho é igual a 4 unidades por hora.

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