Sabendo que f^prime(x)=lim h 0 f(x+h)-f(x)h, calcule a derivadas das seguintes funções:
f(x)=x^2-1

Passo 1

Enunciado: a gente precisa encontrar a derivada de uma função polinomial usando a definição de derivada como limite de diferença. O conteúdo aqui é derivada pelo limite, e vamos usar a fórmula f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h.

Passo 2

Vamos aplicar a definição de derivada em f(x)=x^2-1. Primeiro, montamos o quociente de diferença: f(x+h)-f(x)=( (x+h)^2-1 ) - (x^2-1).
Expandindo e simplificando o numerador:
(x+h)^2-1 - (x^2-1) = x^2+2xh+h^2-1 - x^2+1 = 2xh+h^2

Passo 3

Agora dividimos por h e temos
f(x+h)-f(x)h = 2xh+h^2h = 2x + h

Passo 4

Por fim, tomamos o limite quando hto0, e o termo h some, ficando
f'(x)=limhto0(2x+h)=2x

Resposta

f'(x)=2x

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