Verifique se a função
é uma solução da equação diferencial
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
satisfaz a equação diferencial
no intervalo
. O conteúdo envolvido é EDO linear homogênea com coeficientes constantes e raiz dupla no polinômio característico. Para checar, precisamos calcular
e
e substituir na equação.
Passo 2
Começamos calculando a primeira derivada. Aplicando a regra do produto em
e a derivada direta de
temos
Passo 3
Agora a segunda derivada. Derivando
com
e
pela regra do produto, obtemos
Substituindo
e
resulta
Passo 4
Finalmente, substituímos na equação
. Escrevendo cada termo em função de
:
-
-
-
Somando esses três termos vemos que os coeficientes de, de e de cancelam-se, gerando zero.
Passo 5
Como a soma
deu identicamente zero para todo
, concluímos que
é solução da EDO no intervalo dado.
Resposta
Sim, a função
satisfaz
em
.