Verifique se a função
y(x)=c1 e^2 x+c2 x e^2 x
é uma solução da equação diferencial
d^2 yd x^2-4 d yd x+4 y=0
no intervalo I=(-infty,+infty).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função y(x)=c1e^2x+c2x e^2x satisfaz a equação diferencial y''-4y'+4y=0 no intervalo y'. O conteúdo envolvido é EDO linear homogênea com coeficientes constantes e raiz dupla no polinômio característico. Para checar, precisamos calcular y'' e e substituir na equação.

Passo 2

Começamos calculando a primeira derivada. Aplicando a regra do produto em c2x e^2x e a derivada direta de c1e^2x temos
y'=ddx(c1e^2x)+ddx(c2x e^2x)=2c1e^2x+c2e^2x+2c2x e^2x=e^2xl(2c1+c2+2c2xr)

Passo 3

Agora a segunda derivada. Derivando y'=e^2x(A+Bx) com A=2c1+c2 e B=2c2 pela regra do produto, obtemos
y''=2e^2x(A+Bx)+Be^2x=e^2xl(2A+B+2Bxr)
Substituindo A e B resulta
y''=e^2x(4c1+4c2+4c2x)

Passo 4

Finalmente, substituímos na equação y''-4y'+4y. Escrevendo cada termo em função de e^2x:
  • y''=e^2x(4c1+4c2+4c2x)
  • -4y'=-4e^2x(2c1+c2+2c2x)=e^2x(-8c1-4c2-8c2x)
  • 4y=4e^2x(c1+c2x)=e^2x(4c1+4c2x)
    Somando esses três termos vemos que os coeficientes de c1, de c2 e de c2x cancelam-se, gerando zero.

Passo 5

Como a soma y''-4y'+4y deu identicamente zero para todo x, concluímos que y(x)=c1e^2x+c2x e^2x é solução da EDO no intervalo dado.

Resposta

Sim, a função y(x)=c1e^2x+c2x e^2x satisfaz y''-4y'+4y=0 em .

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