Sabendo que f: R R é contínua e tal que f(0)=1 e f(1)=3, podemos afirmar que:
© existe x tal que f(x)=2.

Passo 1

Vamos resumir a questão. A função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ é contínua, e sabemos que $ f(0) = 1 $ e $ f(1) = 3 $. A gente precisa mostrar que existe algum $ x $ onde $ f(x) = 2 $. Para resolver isso, vamos usar um conceito chamado Teorema do Valor Intermediário, que basicamente diz que se uma função é contínua em um intervalo e assume dois valores diferentes nesses pontos, ela vai passar por todos os valores intermediários entre eles.

Passo 2

Como $ f $ é contínua no intervalo f , e sabemos que $ f(0) = 1 $ e $ f(1) = 3 $, o Teorema do Valor Intermediário entra em ação. Esse teorema garante que para qualquer valor entre 1 e 3, a função $ f $ vai atingir esse valor em algum ponto dentro do intervalo [0,1].

Passo 3

No nosso caso, estamos procurando por $ f(x) = 2 $, que está bem no meio de 1 e 3. Segundo o teorema, isso significa que deve existir algum $ x $ no intervalo f(x) = 2 onde $ f(x) = 2 $.

Resposta

Existe $ x $ no intervalo x tal que $ f(x) = 2 $.

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