Mostre o porquê da mudança de variável
u=x+y1-x y, v=arctan (x)+arctan (y)
não ser uma mudança de variável válida para integrais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformação de variáveis
u=\frac{x+y}{1-xy}, v=\arctan(x)+\arctan(y)
não é válida para integrais. Isso significa que ela não é localmente invertível, ou seja, o determinante jacobiano deve ser igual a zero em toda parte.

Passo 2

Para testar a invertibilidade, vamos calcular as derivadas parciais de u e v em relação a x e y.
Cálculo de ∂u/∂x:
u=\frac{x+y}{1-xy} implica
partial upartial x =(1-xy)cdot1 - (x+y)(-y)(1-xy)^2 =1 - xy + y(x+y)(1-xy)^2 =1 - xy + xy + y^2(1-xy)^2 =1+y^2(1-xy)^2
Cálculo de ∂u/∂y de modo análogo:
partial upartial y =(1-xy)cdot1 - (x+y)(-x)(1-xy)^2 =1 - xy + x(x+y)(1-xy)^2 =1 + x^2(1-xy)^2
Para v=\arctan(x)+\arctan(y) temos diretamente
partial vpartial x=11+x^2, partial vpartial y=11+y^2

Passo 3

Agora montamos o determinante jacobiano
J = partial upartial x & partial upartial y partial vpartial x & partial vpartial y =1+y^2(1-xy)^2cdot11+y^2 -1+x^2(1-xy)^2cdot11+x^2
Podemos simplificar cada termo:
1+y^2(1-xy)^2cdot11+y^2=1(1-xy)^2, 1+x^2(1-xy)^2cdot11+x^2=1(1-xy)^2
Logo
J=1(1-xy)^2-1(1-xy)^2=0

Passo 4

Como o determinante jacobiano é identicamente zero, a transformação não é localmente invertível (ela “achata” o plano em uma curva u=\tan(v)). Por isso não serve como mudança de variável em integrais, já que precisamos de J≠0 para preservar a área local.

Resposta

A mudança de variável não é válida porque o determinante jacobiano é zero em toda parte, impedindo a invertibilidade necessária para integrais.

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