Mostre o porquê da mudança de variável
não ser uma mudança de variável válida para integrais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a transformação de variáveis
u=\frac{x+y}{1-xy}, v=\arctan(x)+\arctan(y)
não é válida para integrais. Isso significa que ela não é localmente invertível, ou seja, o determinante jacobiano deve ser igual a zero em toda parte.
Passo 2
Para testar a invertibilidade, vamos calcular as derivadas parciais de u e v em relação a x e y.
Cálculo de ∂u/∂x:
u=\frac{x+y}{1-xy} implica
Cálculo de ∂u/∂y de modo análogo:
Para v=\arctan(x)+\arctan(y) temos diretamente
Passo 3
Agora montamos o determinante jacobiano
Podemos simplificar cada termo:
Logo
Passo 4
Como o determinante jacobiano é identicamente zero, a transformação não é localmente invertível (ela “achata” o plano em uma curva u=\tan(v)). Por isso não serve como mudança de variável em integrais, já que precisamos de J≠0 para preservar a área local.
Resposta
A mudança de variável não é válida porque o determinante jacobiano é zero em toda parte, impedindo a invertibilidade necessária para integrais.