Sabendo que
para todo
, podemos afirmar que
é igual a:
Pode não existir
0
As outras alternativas estão incorretas
Pode não existir
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente sabe que a função $ f(x) $ é maior ou igual a $ \frac{1}{2} e^{x} - 4x^{3} $ para todo $ x $. A pergunta é: qual é o limite de $ f(x) $ quando $ x $ tende para mais infinito? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites no infinito e comparar o crescimento de funções exponenciais com funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que está servindo de base para $ f(x) $, que é $ \frac{1}{2} e^{x} - 4x^{3} $. Precisamos descobrir qual é o limite dessa função quando $ x $ vai para mais infinito.
Passo 3
Sabemos que funções exponenciais, como $ e^{x} $, crescem muito mais rápido do que funções polinomiais, como $ x^{3} $. Isso significa que, conforme $ x $ fica cada vez maior, o termo $ \frac{1}{2} e^{x} $ vai dominar o comportamento da função, e o termo $ -4x^{3} $ se torna relativamente pequeno em comparação.
Passo 4
Então, ao calcular o limite de $ \frac{1}{2} e^{x} - 4x^{3} $ quando $ x $ tende para mais infinito, o termo $ \frac{1}{2} e^{x} $ vai para $ +\infty $ e o termo $ -4x^{3} $ também vai para $ -\infty $, mas muito mais devagar. Portanto, o limite total da função será dominado pelo termo exponencial, ou seja, $ +\infty $.
Passo 5
Como sabemos que $ f(x) $ é sempre maior ou igual a $ \frac{1}{2} e^{x} - 4x^{3} $, e o limite dessa base é $ +\infty $, podemos concluir que $ f(x) $ também tende para $ +\infty $ quando $ x $ vai para mais infinito.