Sabendo que f: R R é derivável eque f(0)=1, f(1)=1, f(2)=-1, podemos afirmar que:
square As outras alternativas estão incorretas f é decrescente em R f é crescente em R square f não admite ponto de máximo em R
Existe x entre 1 e 2 tal que f^prime(x)=-1 square Não existe x entre 1 e 2 tal que f^prime(x)=1 Existe x entre 0 e 1 tal que f^prime(x)=0

Passo 1

Temos uma função diferenciável f: ℝ→ℝ com f(0)=1, f(1)=1 e f(2)=-1. Para analisar as afirmações, vamos usar o Teorema de Rolle, o Teorema do Valor Médio (MVT) e a propriedade de valor intermediário da derivada.

Passo 2

Como f(0)=f(1)=1 e f é diferenciável em [0,1], o Teorema de Rolle garante que existe c₁∈(0,1) tal que f’(c₁)=0. Esse resultado assegura que necessariamente existe um ponto entre 0 e 1 em que a derivada se anula.
Em [1,2], temos f(2)-f(1)=-1−1=-2. Pelo Teorema do Valor Médio, existe c₂∈(1,2) com
f'(c₂)=f(2)-f(1)2-1=-2

Passo 3

Logo, só podemos afirmar com certeza que f’(x)=0 ocorre em (0,1) e f’(x)=-2 ocorre em (1,2). Não há garantia de que f’(x) seja -1 ou 1 em (1,2), nem podemos concluir monotonicidade global nem ausência de ponto de máximo a partir dos dados.

Passo 4

Portanto, a única afirmação que se mantém verdadeira em todo caso é a existência de x entre 0 e 1 tal que f’(x)=0.

Resposta

Existe x entre 0 e 1 tal que f'(x)=0.

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