Sabendo que f(x) é a derivada de e^2 x cos (x^2), f(0) é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber o valor de $ f(0) $, onde $ f(x) $ é a derivada da função $ e^{2x \cos(x^{2})} $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas usando a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de $ e^{2x \cos(x^{2})} $. Quando temos uma função exponencial do tipo $ e^{g(x)} $, a derivada é $ e^{g(x)} $ multiplicada pela derivada de $ g(x) $. Então, vamos identificar $ g(x) $:
e^2x cos(x^2)

Passo 3

Agora, vamos derivar $ g(x) = 2x \cos(x^{2}) $. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ u(x) \cdot v(x) $ é $ u’(x)v(x) + u(x)v’(x) $. Aqui, $ u(x) = 2x $ e $ v(x) = \cos(x^{2}) $.
Primeiro, derivamos $ u(x) $:
g(x) = 2x cos(x^2)
Em seguida, derivamos $ v(x) $. Usamos a regra da cadeia para $ \cos(x^{2}) $:
u(x) cdot v(x)

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2 cos(x^2) + 2x cdot (-2x sin(x^2))
Simplificando:
g'(x) = 2 cos(x^2) - 4x^2 sin(x^2)

Passo 5

Agora, voltamos à derivada da função original $ f(x) = e^{2x \cos(x^{2})} $:
f(x) = e^2x cos(x^2)

Passo 6

Para encontrar $ f(0) $, substituímos $ x = 0 $ na expressão de $ f(x) $:
Sabemos que:
f(0)
Então:
x = 0

Resposta

$ f(0) = 2 $

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