Sabendo que
é a derivada de
é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber o valor de $ f(0) $, onde $ f(x) $ é a derivada da função $ e^{2x \cos(x^{2})} $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas usando a regra da cadeia e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de $ e^{2x \cos(x^{2})} $. Quando temos uma função exponencial do tipo $ e^{g(x)} $, a derivada é $ e^{g(x)} $ multiplicada pela derivada de $ g(x) $. Então, vamos identificar $ g(x) $:
Passo 3
Agora, vamos derivar $ g(x) = 2x \cos(x^{2}) $. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ u(x) \cdot v(x) $ é $ u’(x)v(x) + u(x)v’(x) $. Aqui, $ u(x) = 2x $ e $ v(x) = \cos(x^{2}) $.
Primeiro, derivamos $ u(x) $:
Em seguida, derivamos $ v(x) $. Usamos a regra da cadeia para $ \cos(x^{2}) $:
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, voltamos à derivada da função original $ f(x) = e^{2x \cos(x^{2})} $:
Passo 6
Para encontrar $ f(0) $, substituímos $ x = 0 $ na expressão de $ f(x) $:
Sabemos que:
Então:
Resposta
$ f(0) = 2 $