O preço da mandioca no intervalo de tempo [0,5] varia com a fórmula f(t)= 83 t^3-2 t+4. Qual o melhor momento para comprar mandioca nesse intervalo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que mostra como o preço da mandioca varia no tempo, especificamente no intervalo de tempo de 0 a 5 unidades (pode ser dias, semanas, etc.). A função é:
f(t) = 83 t^3 - 2 t + 4
O que a gente quer saber é: Qual é o melhor momento para comprar mandioca nesse intervalo? Basicamente, queremos encontrar o momento em que o preço está mais barato.

Passo 2

Para achar o ponto mais barato, precisamos encontrar o mínimo da função $ f(t) $. Isso significa que vamos procurar o valor de $ t $ dentro do intervalo [0,5] que faz com que $ f(t) $ seja o menor possível.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar as derivadas da função. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela, ou seja, como o preço está mudando em cada instante.
A função é:
f(t) = 83 t^3 - 2 t + 4
Vamos calcular a primeira derivada $ f’(t) $:
f'(t)
f'(t) = ddt ( 83 t^3 - 2 t + 4 )

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero, porque nesses pontos a função pode ter um máximo ou mínimo. Então, vamos resolver:
f'(t) = 0
8 t^2 - 2 = 0
8 t^2 = 2
t^2 = 28
t^2 = 14
t = pm 12
Como nosso intervalo é de 0 a 5, consideramos apenas $ t = \frac{1}{2} $.

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função $ f(t) $ nos pontos críticos e também nas extremidades do intervalo para ver qual deles dá o menor preço.
Pontos a avaliar: $ t = 0 $, $ t = \frac{1}{2} $, e $ t = 5 $.
Calculando $ f(t) $ para cada:
  1. Para $ t = 0 $:
f(t)
  1. Para $ t = \frac{1}{2} $:
t = 0
t = 12
t = 5
f(t)
t = 0
  1. Para $ t = 5 $:
f(0) = 83(0)^3 - 2(0) + 4 = 4
t = 12
f(12) = 83(12)^3 - 2(12) + 4
f(12) = 83 times 18 - 1 + 4

Passo 6

Comparando os valores:
  • $ f(0) = 4 $
  • $ f\left(\frac{1}{2}\right) \approx 3,33 $
  • $ f(5) \approx 327,33 $
O menor preço ocorre em $ t = \frac{1}{2} $.

Resposta

O melhor momento para comprar mandioca nesse intervalo é quando $ t = \frac{1}{2} $.

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