Use indução matemática para provar as seguintes igualdades para todo
:
, onde
e
;
Passo 1
Vamos provar por indução em n, mantendo m fixo, que
.
Conteúdo: coeficientes binomiais e princípio de indução matemática.
Conteúdo: coeficientes binomiais e princípio de indução matemática.
Passo 2
Base de indução (n=m):
Usamos a definição .
Para e
:
Usamos a definição
Para
Logo
E
Assim a base vale.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
valha
Passo 4
Passo indutivo (de k para k+1):
Calculamos
Calculamos
Pela definição de coeficiente binomial,
$$\binom{k+1}{m-1}=\frac{(k+1)!}{(m-1)!,(k+2-m)!},\quad
\binom{k+1}{m}=\frac{(k+1)!}{m!,(k+1-m)!}.$$
Passo 5
Agora somamos frações:
Passo 6
Portanto
e completamos o passo indutivo.
Pelo princípio da indução, a fórmula vale para todo
Resposta
A igualdade
é válida para todo
e todo
tal que
.