Use indução matemática para provar as seguintes igualdades para todo n in N :
binomnm-1+binomnm=binomn+1m, onde binomnm=n!(n-m)!m!, com 0!=1 e 1 <= m <= n;

Passo 1

Vamos provar por indução em n, mantendo m fixo, que binomnm-1+binomnm=binomn+1m.
Conteúdo: coeficientes binomiais e princípio de indução matemática.

Passo 2

Base de indução (n=m):
Usamos a definição binomnk=n!k!(n-k)!.
Para n=m e 1<= m<= n:
binommm-1=m,binommm=1
Logo
binommm-1+binommm=m+1
E
binomm+1m=(m+1)!m!,1!=m+1
Assim a base vale.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k>= m valha
binomkm-1+binomkm=binomk+1m

Passo 4

Passo indutivo (de k para k+1):
Calculamos
binomk+1m-1+binomk+1m
Pela definição de coeficiente binomial,
$$\binom{k+1}{m-1}=\frac{(k+1)!}{(m-1)!,(k+2-m)!},\quad
\binom{k+1}{m}=\frac{(k+1)!}{m!,(k+1-m)!}.$$

Passo 5

Agora somamos frações:
(k+1)!(m-1)!,(k+2-m)!+(k+1)!m!,(k+1-m)! =(k+1)!,mm!,(k+2-m)!+(k+1)!,(k+2-m)m!,(k+2-m)! =(k+1)!,(m+k+2-m)m!,(k+2-m)! =(k+2)!m!,(k+2-m)! =binomk+2m

Passo 6

Portanto
binomk+1m-1+binomk+1m=binomk+2m,
e completamos o passo indutivo.
Pelo princípio da indução, a fórmula vale para todo ninN com 1<= m<= n.

Resposta

A igualdade binomnm-1+binomnm=binomn+1m é válida para todo ninN e todo m tal que 1<= m<= n.

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