Sabendo que
e
determine:
e calcule
Passo 1
O enunciado define as funções f(x)=x^{2}−2x, g(x)=
√[3]{x^{2}} e h(x)=e^{x}+1. Precisamos encontrar a composição h∘f e depois calcular h∘f(2)−f∘h(−1). O conteúdo envolvido é composição de funções e avaliação de expressões.
√[3]{x^{2}} e h(x)=e^{x}+1. Precisamos encontrar a composição h∘f e depois calcular h∘f(2)−f∘h(−1). O conteúdo envolvido é composição de funções e avaliação de expressões.
Passo 2
Para obter h∘f, substituímos f(x) em h(x). Assim, temos:
[(h\circ f)(x) = h(f(x)) = e{\bigl(x{2}-2x\bigr)} + 1]
[(h\circ f)(x) = h(f(x)) = e{\bigl(x{2}-2x\bigr)} + 1]
Passo 3
Agora vamos calcular h(f(2)). Primeiro, f(2):
[f(2) = 2^{2} - 2·2 = 4 - 4 = 0]
Em seguida, h(f(2)):
[h(0) = e^{0} + 1 = 1 + 1 = 2]
[f(2) = 2^{2} - 2·2 = 4 - 4 = 0]
Em seguida, h(f(2)):
[h(0) = e^{0} + 1 = 1 + 1 = 2]
Passo 4
Em seguida, calculamos f(h(-1)). Primeiro, h(-1):
[h(-1) = e^{-1} + 1 = \frac{1}{e} + 1]
Agora, f em h(-1):
[f\bigl(1 + \tfrac{1}{e}\bigr) = \bigl(1 + \tfrac{1}{e}\bigr)^{2} - 2\bigl(1 + \tfrac{1}{e}\bigr) = 1 + \tfrac{2}{e} + \tfrac{1}{e^{2}} - 2 - \tfrac{2}{e} = -1 + \tfrac{1}{e^{2}}]
[h(-1) = e^{-1} + 1 = \frac{1}{e} + 1]
Agora, f em h(-1):
[f\bigl(1 + \tfrac{1}{e}\bigr) = \bigl(1 + \tfrac{1}{e}\bigr)^{2} - 2\bigl(1 + \tfrac{1}{e}\bigr) = 1 + \tfrac{2}{e} + \tfrac{1}{e^{2}} - 2 - \tfrac{2}{e} = -1 + \tfrac{1}{e^{2}}]
Passo 5
Por fim, subtraímos:
[h(f(2)) - f(h(-1)) = 2 - \bigl(-1 + \tfrac{1}{e^{2}}\bigr) = 2 + 1 - \tfrac{1}{e^{2}} = 3 - \tfrac{1}{e^{2}}]
[h(f(2)) - f(h(-1)) = 2 - \bigl(-1 + \tfrac{1}{e^{2}}\bigr) = 2 + 1 - \tfrac{1}{e^{2}} = 3 - \tfrac{1}{e^{2}}]
Resposta
3 - \tfrac{1}{e^{2}}