Sabendo-se que
, determine:
a) O domínio da função e esboce-o;
b) As curvas de nível da função quando
;
c) Determine a equação e esboce a curva de nível
de
que passa pelo ponto
.
a) O domínio da função e esboce-o;
b) As curvas de nível da função quando
c) Determine a equação e esboce a curva de nível
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) O domínio de
e um esboço dele. - (b) As curvas de nível para
e para . - (c) A equação e o esboço da curva de nível
de que passa pelo ponto .
Informações fornecidas diretamente no enunciado:
Não há figura adicional. Todos os dados que precisamos estão na expressão acima.
Passo 2
Condição para existir
: o radicando tem de ser não negativo. Ou seja, devemos exigir
Essa desigualdade determina o domínio. Vou manipular essa expressão de forma simples e clara:
Forma alternativa útil (resolvendo para
em função de
):
Isso significa que, para cada valor de
,
deve ficar entre
e
.
Interpretação geométrica (aqui eu explico devagar): a curva de igualdade
é uma hipérbole centrada na origem que se abre ao longo do eixo
. A desigualdade
representa a região “entre” as duas folhas dessa hipérbole, incluindo a própria hipérbole. Em outras palavras, o domínio é a região formada por todos os pontos cuja coordenada
está dentro dos ramos da hipérbole
.
Pontos notáveis da curva limite
:
- Interceptos com o eixo
: pondo obtemos . - Não há interseção com o eixo
(porque daria , impossível). - As assíntotas da hipérbole são as retas
(porque para grandes e com os termos dominantes cancelam).
Portanto: domínio é a região
Passo 3
Como a questão pede esboço do domínio, explico como desenhar mentalmente/à mão (passo a passo):
- Desenhe as retas
e como referência (assíntotas). - Marque os pontos
e — são os vértices da hipérbole. - Desenhe a hipérbole
que passa por esses vértices e se aproxima das retas quando aumenta. Há duas folhas: uma com (à direita) e outra com (à esquerda). - O domínio é a região entre essas duas folhas, isto é, tudo que estiver entre a folha esquerda e a folha direita (incluindo as folhas). Em particular a região contém o eixo
inteiro (pois para a condição é satisfeita: sempre).
Dica prática para o esboço: se você tiver papel, desenhe as assíntotas e depois desenhe a hipérbole com vértices em
no eixo
; a região permitida é o “interior” entre as duas folhas (não é um conjunto fechado e limitado — é ilimitado em
).
Passo 4
Agora vamos estudar curvas de nível em geral. Uma curva de nível de
para um valor
é o conjunto de pontos
tais que
Substituindo
:
Elevando ao quadrado (lembrando que
porque raiz dá valor não negativo):
Reescrevendo:
Conclusão importante: cada curva de nível é uma hipérbole (se
) ou um par de retas (se
). O sinal de
determina a orientação:
- Se
(isto é, ), então e a hipérbole abre no sentido do eixo (folhas acima e abaixo). - Se
(isto é, ), então que é (duas retas). - Se
(isto é, ), então e a hipérbole abre no sentido do eixo (folhas esquerda e direita).
Observe que
não pode ser negativo, então consideramos
.
Passo 5
Aplicando ao item (b):
Para
: calcule
.
Então a curva de nível é
Essa é uma hipérbole que abre ao longo do eixo
. Pontos notáveis:
- Interseção com o eixo
: colocando vem (vértices). - Assíntotas:
. - Não há interseção com o eixo
(colocar dá , impossível).
Para
: calcule
.
Então a curva de nível é
ou seja
Portanto, para
as curvas de nível são exatamente as duas retas que são as assíntotas que já desenhamos.
Passo 6
Item (c): encontrar a curva de nível
que passa por
.
Primeiro calcule
:
Então a curva de nível que passa por
é a curva de nível correspondente a
.
Equação da curva de nível
:
Observe que essa é exatamente a hipérbole que define a fronteira do domínio (o bordo onde o radicando é zero). De fato
satisfaz
, então está nesta hipérbole.
Esboço e características dessa hipérbole
:
- Vértices em
com . - Folhas abertas para a direita e para a esquerda (eixo
). - Assíntotas
. - Para desenhar: marque
e , desenhe folhas que passam por e e se aproximam das retas .
Resposta
a) Domínio:
(região entre as folhas da hipérbole
, com vértices em
).
b) Para :
.
b) Para :
.
c) A curva de nível que passa por corresponde a
e tem equação
.
b) Para
b) Para
c) A curva de nível que passa por