Sabendo-se que f(x, y)=\sqrt{y^{2}-x^{2}+3}, determine:
a) O domínio da função e esboce-o;
b) As curvas de nível da função quando k=2 e k=\sqrt{3};
c) Determine a equação e esboce a curva de nível k de f que passa pelo ponto (2,1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\sqrt{y^{2}-x^{2}+3} e pede três coisas:
  1. (a) O domínio de f e um esboço dele.
  2. (b) As curvas de nível para k=2 e para k=\sqrt{3}.
  3. (c) A equação e o esboço da curva de nível k de f que passa pelo ponto (2,1).
Informações fornecidas diretamente no enunciado:
f(x,y)=\sqrt{y^{2}-x^{2}+3}.
Não há figura adicional. Todos os dados que precisamos estão na expressão acima.

Passo 2

Condição para existir f(x,y): o radicando tem de ser não negativo. Ou seja, devemos exigir
y^{2}-x^{2}+3 \ge 0.
Essa desigualdade determina o domínio. Vou manipular essa expressão de forma simples e clara:
y^{2}-x^{2}+3 \ge 0
\Longleftrightarrow y^{2}-x^{2} \ge -3
\Longleftrightarrow x^{2}-y^{2} \le 3.
Forma alternativa útil (resolvendo para x em função de y):
x^{2} \le y^{2}+3
\Longleftrightarrow |x| \le \sqrt{y^{2}+3}.
Isso significa que, para cada valor de y, x deve ficar entre -\sqrt{y^{2}+3} e \sqrt{y^{2}+3}.
Interpretação geométrica (aqui eu explico devagar): a curva de igualdade
x^{2}-y^{2}=3
é uma hipérbole centrada na origem que se abre ao longo do eixo x. A desigualdade x^{2}-y^{2}\le 3 representa a região “entre” as duas folhas dessa hipérbole, incluindo a própria hipérbole. Em outras palavras, o domínio é a região formada por todos os pontos cuja coordenada x está dentro dos ramos da hipérbole x^{2}-y^{2}=3.
Pontos notáveis da curva limite x^{2}-y^{2}=3:
  • Interceptos com o eixo x: pondo y=0 obtemos x=\pm\sqrt{3}.
  • Não há interseção com o eixo y (porque x=0 daria -y^{2}=3, impossível).
  • As assíntotas da hipérbole são as retas y=\pm x (porque para grandes |x| e |y| com y\approx\pm x os termos dominantes cancelam).
Portanto: domínio é a região
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}-y^{2}\le 3\}.

Passo 3

Como a questão pede esboço do domínio, explico como desenhar mentalmente/à mão (passo a passo):
  1. Desenhe as retas y=x e y=-x como referência (assíntotas).
  2. Marque os pontos (\sqrt{3},0) e (-\sqrt{3},0) — são os vértices da hipérbole.
  3. Desenhe a hipérbole x^{2}-y^{2}=3 que passa por esses vértices e se aproxima das retas y=\pm x quando |x| aumenta. Há duas folhas: uma com x\ge\sqrt{3} (à direita) e outra com x\le -\sqrt{3} (à esquerda).
  4. O domínio é a região entre essas duas folhas, isto é, tudo que estiver entre a folha esquerda e a folha direita (incluindo as folhas). Em particular a região contém o eixo y inteiro (pois para x=0 a condição é satisfeita: 0\le y^{2}+3 sempre).
Dica prática para o esboço: se você tiver papel, desenhe as assíntotas e depois desenhe a hipérbole com vértices em \pm\sqrt{3} no eixo x; a região permitida é o “interior” entre as duas folhas (não é um conjunto fechado e limitado — é ilimitado em y).

Passo 4

Agora vamos estudar curvas de nível em geral. Uma curva de nível de f para um valor k\ge 0 é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=k.
Substituindo f:
\sqrt{y^{2}-x^{2}+3}=k.
Elevando ao quadrado (lembrando que k\ge 0 porque raiz dá valor não negativo):
y^{2}-x^{2}+3=k^{2}
\Longleftrightarrow y^{2}-x^{2}=k^{2}-3.
Reescrevendo:
x^{2}-y^{2}=3-k^{2}.
Conclusão importante: cada curva de nível é uma hipérbole (se k^{2}\neq 3) ou um par de retas (se k^{2}=3). O sinal de k^{2}-3 determina a orientação:
  • Se k^{2}-3>0 (isto é, k>\sqrt{3}), então y^{2}-x^{2}= \text{positivo} e a hipérbole abre no sentido do eixo y (folhas acima e abaixo).
  • Se k^{2}-3=0 (isto é, k=\sqrt{3}), então y^{2}-x^{2}=0 que é y=\pm x (duas retas).
  • Se k^{2}-3<0 (isto é, 0\le k<\sqrt{3}), então x^{2}-y^{2}= \text{positivo} e a hipérbole abre no sentido do eixo x (folhas esquerda e direita).
Observe que k não pode ser negativo, então consideramos k\ge 0.

Passo 5

Aplicando ao item (b):
Para k=2: calcule k^{2}-3.
k^{2}-3=2^{2}-3=4-3=1.
Então a curva de nível é
y^{2}-x^{2}=1.
Essa é uma hipérbole que abre ao longo do eixo y. Pontos notáveis:
  • Interseção com o eixo y: colocando x=0 vem y=\pm 1 (vértices).
  • Assíntotas: y=\pm x.
  • Não há interseção com o eixo x (colocar y=0 -x^{2}=1, impossível).
Para k=\sqrt{3}: calcule k^{2}-3.
k^{2}-3=(\sqrt{3})^{2}-3=3-3=0.
Então a curva de nível é
y^{2}-x^{2}=0,
ou seja
y=\pm x.
Portanto, para k=\sqrt{3} as curvas de nível são exatamente as duas retas que são as assíntotas que já desenhamos.

Passo 6

Item (c): encontrar a curva de nível k que passa por (2,1).
Primeiro calcule k=f(2,1):
f(2,1)=\sqrt{1^{2}-2^{2}+3}=\sqrt{1-4+3}=\sqrt{0}=0.
Então a curva de nível que passa por (2,1) é a curva de nível correspondente a k=0.
Equação da curva de nível k=0:
\sqrt{y^{2}-x^{2}+3}=0 \Longrightarrow y^{2}-x^{2}+3=0
\Longleftrightarrow x^{2}-y^{2}=3.
Observe que essa é exatamente a hipérbole que define a fronteira do domínio (o bordo onde o radicando é zero). De fato (2,1) satisfaz 2^{2}-1^{2}=4-1=3, então está nesta hipérbole.
Esboço e características dessa hipérbole x^{2}-y^{2}=3:
  • Vértices em (\pm\sqrt{3},0) com \sqrt{3}\approx 1,732.
  • Folhas abertas para a direita e para a esquerda (eixo x).
  • Assíntotas y=\pm x.
  • Para desenhar: marque (\sqrt{3},0) e (-\sqrt{3},0), desenhe folhas que passam por (2,1) e (-2,-1) e se aproximam das retas y=\pm x.

Resposta

a) Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}-y^{2}\le 3\} (região entre as folhas da hipérbole x^{2}-y^{2}=3, com vértices em (\pm\sqrt{3},0)).
b) Para k=2: y^{2}-x^{2}=1.
b) Para k=\sqrt{3}: y=\pm x.
c) A curva de nível que passa por (2,1) corresponde a k=0 e tem equação x^{2}-y^{2}=3.

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