Qual dos vetores abaixo é um vetor normal ao plano que é tangente ao gráfico da função
no ponto
?
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir qual dos vetores listados é normal ao plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Basicamente, estamos trabalhando com o conceito de vetor normal e plano tangente na matemática, especialmente em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função para encontrar o vetor normal.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto específico
.
Para
:
Para
:
Passo 4
O vetor normal ao plano tangente no ponto dado é formado pelas derivadas parciais calculadas e um componente fixo. A fórmula para o vetor normal
é:
Passo 5
Agora, vamos comparar esse vetor com as opções fornecidas:
a)
b)
c)
d)
Vendo bem, o vetor que encontramos é exatamente igual à opção c).
Resposta
A opção c)
é o vetor normal ao plano tangente no ponto dado.