Qual dos vetores abaixo é um vetor normal ao plano que é tangente ao gráfico da função
f(x, y)=3 x^2 y-x
no ponto (1,2,5) ?
a) (3,1,-1)
b) (1,3,-1)
c) (11,3,-1)
d) (3,11,-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir qual dos vetores listados é normal ao plano tangente ao gráfico da função no ponto . Basicamente, estamos trabalhando com o conceito de vetor normal e plano tangente na matemática, especialmente em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função para encontrar o vetor normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de fx = partial fpartial x = partialpartial x (3x^2y - x) = 6xy - 1 em relação a fy = partial fpartial y = partialpartial y (3x^2y - x) = 3x^2 e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto específico fx(1, 2) = 6(1)(2) - 1 = 12 - 1 = 11 .
Para fy(1, 2) = 3(1)^2 = 3 :
Para :

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente no ponto dado é formado pelas derivadas parciais calculadas e um componente fixo. A fórmula para o vetor normal n = (fx, fy, -1) = (11, 3, -1) é:

Passo 5

Agora, vamos comparar esse vetor com as opções fornecidas:
a)
b)
c)
d)
Vendo bem, o vetor que encontramos é exatamente igual à opção c).

Resposta

A opção c) é o vetor normal ao plano tangente no ponto dado.

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